Номер 108, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник $ABCD$, если:

1) $AB = 4 \text{ см}, BC = 11 \text{ см}, CD = 12 \text{ см}, AD = 5 \text{ см};$

2) $AB = 9 \text{ см}, BC = 7 \text{ см}, CD = 14 \text{ см}, AD = 15 \text{ см}?$

108. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник

$ABCD$, если:

1) $AB = 4 \text{ см}$, $BC = 11 \text{ см}$, $CD = 12 \text{ см}$, $AD = 5 \text{ см}$;

2) $AB = 9 \text{ см}$, $BC = 7 \text{ см}$, $CD = 14 \text{ см}$, $AD = 15 \text{ см}$?

Окружность можно вписать в выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Это свойство известно как теорема Пито. Для четырёхугольника ABCD это условие можно записать в виде формулы: $AB + CD = BC + AD$.

Проверим это условие для каждого из предложенных случаев.

1) Даны стороны четырёхугольника: $AB = 4$ см, $BC = 11$ см, $CD = 12$ см, $AD = 5$ см.
Найдём сумму длин противолежащих сторон $AB$ и $CD$:
$AB + CD = 4 + 12 = 16$ см.
Теперь найдём сумму длин другой пары противолежащих сторон $BC$ и $AD$:
$BC + AD = 11 + 5 = 16$ см.
Поскольку суммы противолежащих сторон равны ($16 = 16$), условие выполняется.
Ответ: да, можно.

2) Даны стороны четырёхугольника: $AB = 9$ см, $BC = 7$ см, $CD = 14$ см, $AD = 15$ см.
Найдём сумму длин противолежащих сторон $AB$ и $CD$:
$AB + CD = 9 + 14 = 23$ см.
Теперь найдём сумму длин другой пары противолежащих сторон $BC$ и $AD$:
$BC + AD = 7 + 15 = 22$ см.
Поскольку суммы противолежащих сторон не равны ($23 \neq 22$), условие не выполняется.
Ответ: нет, нельзя.