Номер 104, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle ABC = 68^\circ$, $\angle ADC = 112^\circ$, $\angle BAC = 23^\circ$, $\angle DAC = 52^\circ$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежащий стороне $AD$.

104. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle ABC = 68^\circ$, $\angle ADC = 112^\circ$, $\angle BAC = 23^\circ$, $\angle DAC = 52^\circ$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника, противолежащий стороне $AD$.

По условию задачи в четырехугольнике $ABCD$ известны углы: $\angle ABC = 68^\circ$, $\angle ADC = 112^\circ$, $\angle BAC = 23^\circ$, $\angle DAC = 52^\circ$.

Проверим, является ли четырехугольник $ABCD$ вписанным в окружность. Для этого найдем сумму его противоположных углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$.

$\angle ABC + \angle ADC = 68^\circ + 112^\circ = 180^\circ$

Так как сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность. Это означает, что $ABCD$ — вписанный четырехугольник.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Требуется найти угол между диагоналями, противолежащий стороне $AD$. Этим углом является $\angle AOD$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle AOD + \angle OAD + \angle ODA = 180^\circ$

Из условия задачи нам известны:

1. $\angle OAD$ совпадает с углом $\angle DAC$, то есть $\angle OAD = 52^\circ$.

2. $\angle ODA$ совпадает с углом $\angle BDA$.

Для нахождения $\angle AOD$ нам необходимо определить величину угла $\angle ODA$ ($\angle BDA$).

Во вписанном четырехугольнике углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ (или $\angle CDB$) опираются на дугу $BC$.

Следовательно, $\angle CDB = \angle BAC = 23^\circ$.

Угол $\angle ADC$ состоит из двух углов: $\angle BDA$ и $\angle CDB$.

$\angle ADC = \angle BDA + \angle CDB$

Подставим известные значения в это равенство:

$112^\circ = \angle BDA + 23^\circ$

Выразим отсюда $\angle BDA$:

$\angle BDA = 112^\circ - 23^\circ = 89^\circ$

Теперь мы знаем два угла в треугольнике $AOD$: $\angle OAD = 52^\circ$ и $\angle ODA = 89^\circ$. Можем найти третий угол $\angle AOD$:

$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA)$

$\angle AOD = 180^\circ - (52^\circ + 89^\circ)$

$\angle AOD = 180^\circ - 141^\circ$

$\angle AOD = 39^\circ$

Ответ: $39^\circ$.