Номер 102, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен $42^{\circ}$. Найдите остальные углы трапеции.

102. Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен $42^\circ$. Найдите остальные углы трапеции.

Основное свойство трапеции, вписанной в окружность, заключается в том, что такая трапеция всегда является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при каждом из оснований равны.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Так как она вписана в окружность, она равнобедренная. Это означает, что углы при основании $AD$ равны ($\angle A = \angle D$), и углы при основании $BC$ равны ($\angle B = \angle C$).

Также для любого четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$

По условию, один из углов трапеции равен $42^\circ$. Этот угол является острым. В равнобедренной трапеции (если она не является прямоугольником) есть два равных острых угла и два равных тупых угла.

Пусть один из острых углов равен $42^\circ$. Например, $\angle A = 42^\circ$.
Поскольку трапеция равнобедренная, второй угол при том же основании также равен $42^\circ$:
$\angle D = \angle A = 42^\circ$.

Теперь найдем два других (тупых) угла. Используем свойство вписанного четырехугольника:
$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$.
Поскольку $\angle B = \angle C$, то $\angle B$ также равен $138^\circ$.
Проверим: $\angle B + \angle D = 138^\circ + 42^\circ = 180^\circ$. Все верно.

Итак, углы трапеции: $42^\circ, 42^\circ, 138^\circ, 138^\circ$. Один из них был дан, значит, остальные три угла — это $42^\circ, 138^\circ, 138^\circ$.

Ответ: $42^\circ, 138^\circ, 138^\circ$.