Номер 35, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Биссектриса угла $AOD$ пересекает сторону $AD$ в её середине. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

35. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Биссектриса угла $AOD$ пересекает сторону $AD$ в её середине. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $K$ — середина стороны $AD$. По условию, биссектриса угла $AOD$ пересекает сторону $AD$ в её середине, то есть в точке $K$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. В этом треугольнике отрезок $OK$ является одновременно и биссектрисой (по условию), и медианой (так как $K$ — середина $AD$).

Согласно свойству треугольника, если медиана, проведенная к одной из сторон, совпадает с биссектрисой угла, противолежащего этой стороне, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOD$ является равнобедренным, а стороны, прилежащие к вершине $O$, равны: $AO = OD$.

По свойству диагоналей параллелограмма, они в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

Из доказанного нами равенства $AO = OD$ и свойства диагоналей следует, что половины диагоналей равны между собой. Тогда и целые диагонали равны:$AC = 2 \cdot AO$$BD = 2 \cdot OD$Так как $AO = OD$, то $AC = BD$.

Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Таким образом, параллелограмм $ABCD$ — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.