Номер 41, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. На рисунке 9 четырёхугольник ABCD — ромб. Найдите угол $\alpha$.

Рис. 9

а

В ромбе ABCD: угол $\angle ABD = \alpha$, угол $\angle CDB = 52^{\circ}$.

б

В ромбе ABCD: угол $\angle BAC = \alpha$, угол $\angle ADC = 74^{\circ}$.

в

В ромбе ABCD: угол $\angle DBC = \alpha$, угол $\angle CAD = 25^{\circ}$.

41. На рисунке 9 четырёхугольник $ABCD$ — ромб. Найдите угол $\alpha$.

Рис. 9

а

б

в

а

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является ромбом, все его стороны равны. В частности, сторона $BC$ равна стороне $CD$.

Следовательно, треугольник $BCD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle CBD = \angle BDC$.

Из условия на рисунке нам дан угол $\angle BDC = 52^{\circ}$.

Таким образом, искомый угол $\alpha = \angle CBD = 52^{\circ}$.

Ответ: $\alpha = 52^{\circ}$.

б

В ромбе $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^{\circ}$.

Рассмотрим углы, прилежащие к стороне $CD$: $\angle ADC$ и $\angle BCD$. Их сумма $\angle ADC + \angle BCD = 180^{\circ}$.

По условию, $\angle ADC = 74^{\circ}$. Отсюда мы можем найти угол $\angle BCD$:

$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ}$.

Одним из свойств ромба является то, что его диагонали являются биссектрисами его углов. Диагональ $AC$ делит угол $\angle BCD$ пополам.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен половине угла $\angle BCD$:

$\alpha = \angle BCA = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{106^{\circ}}{2} = 53^{\circ}$.

Ответ: $\alpha = 53^{\circ}$.

в

В ромбе $ABCD$ проведены диагонали $AC$ и $BD$.

Ключевое свойство ромба заключается в том, что его диагонали пересекаются под прямым углом (взаимно перпендикулярны).

Искомый угол $\alpha = \angle BOC$ является одним из углов, образованных в точке пересечения диагоналей.

Следовательно, $\alpha = \angle BOC = 90^{\circ}$.

Заметим, что данный в условии угол $\angle CAD = 25^{\circ}$ является избыточной информацией для нахождения угла $\alpha$.

Ответ: $\alpha = 90^{\circ}$.