Номер 47, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Серединный перпендикуляр отрезка $BM$ пересекает сторону $AB$ в точке $N$. Найдите периметр четырёхугольника $BCMN$, если $BN = 8$ см.

47. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Серединный перпендикуляр отрезка $BM$ пересекает сторону $AB$ в точке $N$. Найдите периметр четырёхугольника $BCMN$, если $BN = 8$ см.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$.

1. Анализ свойств, связанных с биссектрисой угла B.
$BM$ является биссектрисой угла $B$, следовательно, $\angle CBM = \angle ABM$.
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$.
Прямая $BM$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$. Внутренние накрест лежащие углы при секущей равны: $\angle ABM = \angle BMC$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle CBM = \angle BMC$.
Рассмотрим треугольник $\triangle BCM$. Так как два его угла равны ($\angle CBM = \angle BMC$), то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $BC = CM$.

2. Анализ свойств, связанных с серединным перпендикуляром.
Точка $N$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BM$. По определению серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка.
Следовательно, расстояние от точки $N$ до точки $B$ равно расстоянию от точки $N$ до точки $M$: $BN = MN$.
По условию задачи, $BN = 8$ см, значит, $MN = 8$ см.

3. Установление связи между сторонами $BC$ и $BN$.
Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle BNM$ ($BN=MN$). Углы при его основании $BM$ равны: $\angle NBM = \angle BMN$.
Точка $N$ лежит на стороне $AB$, поэтому угол $\angle NBM$ совпадает с углом $\angle ABM$. Таким образом, $\angle ABM = \angle BMN$.
В пункте 1 мы установили, что $\angle ABM = \angle CBM = \angle BMC$.
Из этого следует, что $\angle BMN = \angle BMC$.
Рассмотрим два треугольника: $\triangle BCM$ и $\triangle BNM$.
В $\triangle BCM$: он равнобедренный с основанием $BM$. Углы при основании $\angle CBM = \angle BMC$. По теореме синусов: $ \frac{BM}{\sin(\angle BCM)} = \frac{BC}{\sin(\angle BMC)} $ $ BM = BC \cdot \frac{\sin(180^\circ - 2\angle BMC)}{\sin(\angle BMC)} = BC \cdot \frac{\sin(2\angle BMC)}{\sin(\angle BMC)} = BC \cdot \frac{2\sin(\angle BMC)\cos(\angle BMC)}{\sin(\angle BMC)} = 2 \cdot BC \cdot \cos(\angle BMC) $
В $\triangle BNM$: он равнобедренный с основанием $BM$. Углы при основании $\angle NBM = \angle BMN$. По теореме синусов: $ \frac{BM}{\sin(\angle BNM)} = \frac{BN}{\sin(\angle BMN)} $ $ BM = BN \cdot \frac{\sin(180^\circ - 2\angle BMN)}{\sin(\angle BMN)} = BN \cdot \frac{\sin(2\angle BMN)}{\sin(\angle BMN)} = BN \cdot \frac{2\sin(\angle BMN)\cos(\angle BMN)}{\sin(\angle BMN)} = 2 \cdot BN \cdot \cos(\angle BMN) $
Так как $\angle BMC = \angle BMN$, то и $\cos(\angle BMC) = \cos(\angle BMN)$.
Приравнивая два выражения для длины общей стороны $BM$, получаем: $ 2 \cdot BC \cdot \cos(\angle BMC) = 2 \cdot BN \cdot \cos(\angle BMN) $ $ BC = BN $

4. Расчет периметра четырехугольника BCMN.
Периметр четырехугольника $BCMN$ равен сумме длин его сторон: $ P_{BCMN} = BC + CM + MN + BN $
Из предыдущих пунктов нам известно:

• $BN = 8$ см (по условию).
• $MN = BN = 8$ см.
• $BC = BN = 8$ см.
• $CM = BC = 8$ см.

Таким образом, все стороны четырехугольника $BCMN$ равны 8 см.
$ P_{BCMN} = 8 + 8 + 8 + 8 = 32 $ см.

Ответ: 32 см.