Номер 52, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. На продолжении стороны $AD$ квадрата $ABCD$ за точку $A$ отметили точку $F$ такую, что луч $CF$ делит угол $DCB$ в отношении $1 : 2$. Найдите отрезок $CF$, если сторона квадрата равна $4$ см.

52. На продолжении стороны $AD$ квадрата $ABCD$ за точку $A$ отметили точку $F$ такую, что луч $CF$ делит угол $DCB$ в отношении $1 : 2$. Найдите отрезок $CF$, если сторона квадрата равна $4$ см.

Пусть $ABCD$ — данный квадрат. По условию, сторона квадрата равна 4 см, то есть $AB = BC = CD = AD = 4$ см.Точка $F$ лежит на продолжении стороны $AD$ за точку $A$, это означает, что точки расположены на прямой в следующем порядке: $F, A, D$.

Угол квадрата $\angle DCB$ равен $90^\circ$. Луч $CF$ делит этот угол в отношении $1:2$, считая от луча $CD$. Это значит, что $\angle DCF : \angle FCB = 1:2$.

Пусть $\angle DCF = x$, тогда $\angle FCB = 2x$. В сумме они составляют угол $\angle DCB$:
$x + 2x = 90^\circ$
$3x = 90^\circ$
$x = 30^\circ$

Следовательно, $\angle DCF = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle FDC$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $\angle CDA = 90^\circ$. Угол $\angle FDC$ является смежным с углом, который является частью прямой линии $FAD$, поэтому угол при вершине $D$ в этом треугольнике прямой: $\angle FDC = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle FDC$ — прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике нам известны:

• Катет $CD = 4$ см (сторона квадрата).
• Угол $\angle DCF = 30^\circ$.

Мы ищем гипотенузу $CF$. В прямоугольном треугольнике косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:$\cos(\angle DCF) = \frac{CD}{CF}$

Подставим известные значения:$\cos(30^\circ) = \frac{4}{CF}$

Зная, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{CF}$

Выразим отсюда $CF$:$CF = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$CF = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.