Номер 58, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Диагонали четырёхугольника равны 2 см и 5 см, а угол между ними — $42^\circ$. Найдите стороны и углы четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

58. Диагонали четырёхугольника равны 2 см и 5 см, а угол между ними — $42^\circ$. Найдите стороны и углы четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.

Пусть дан произвольный четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого $d_1 = 5$ см и $d_2 = 2$ см, а угол между ними равен $42^\circ$.Пусть $P, Q, R, S$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Четырёхугольник $PQRS$, образованный соединением середин сторон, является искомым.

Согласно теореме Вариньона, четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырёхугольника, всегда является параллелограммом.

Стороны параллелограмма Вариньона ($PQRS$) параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ($ABCD$) и равны их половинам.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, является его средней линией. Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны:
$PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5$ см.
Аналогично, в треугольнике $ABD$ отрезок $PS$ является средней линией:
$PS = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см.
Так как $PQRS$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны: $SR = PQ = 2,5$ см и $QR = PS = 1$ см.
Ответ: Две стороны четырёхугольника равны 2,5 см, а две другие — 1 см.

Поскольку стороны параллелограмма $PQRS$ параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ($PQ \parallel AC$ и $PS \parallel BD$), углы этого параллелограмма равны углам, образованным при пересечении диагоналей.
По условию, один из углов между диагоналями равен $42^\circ$. Второй (смежный) угол равен $180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$.
В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, два противоположных угла четырёхугольника $PQRS$ равны $42^\circ$, а два других — $138^\circ$.
Ответ: Два противоположных угла четырёхугольника равны $42^\circ$, а два других — $138^\circ$.