Номер 62, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $M$ и $K$ соответственно, что $BM : MA = BK : KC = 1 : 3$. Найдите сторону $AC$, если $MK = 7$ см.

62. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $M$ и $K$ соответственно, что $BM : MA = BK : KC = 1 : 3$. Найдите сторону $AC$, если $MK = 7$ см.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBK$.

По условию задачи, точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $BM : MA = 1 : 3$. Это означает, что отрезок $BM$ составляет одну часть, а вся сторона $AB = BM + MA$ состоит из $1+3=4$ таких же частей. Следовательно, отношение длины отрезка $BM$ к длине стороны $AB$ равно:
$\frac{BM}{AB} = \frac{1}{4}$.

Аналогично, точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении $BK : KC = 1 : 3$. Это означает, что отрезок $BK$ составляет одну часть, а вся сторона $BC = BK + KC$ состоит из $1+3=4$ таких же частей. Следовательно, отношение длины отрезка $BK$ к длине стороны $BC$ равно:
$\frac{BK}{BC} = \frac{1}{4}$.

Теперь сравним треугольники $ABC$ и $MBK$.
1. Угол $\angle B$ у них общий.
2. Стороны, образующие этот угол, пропорциональны, так как $\frac{BM}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{4}$.

Согласно второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBK \sim \triangle ABC$).

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон: $k = \frac{1}{4}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их третьих сторон $MK$ и $AC$ также равно коэффициенту подобия:
$\frac{MK}{AC} = k = \frac{1}{4}$.

Нам известно, что $MK = 7$ см. Подставим это значение в пропорцию и найдем длину стороны $AC$:
$\frac{7}{AC} = \frac{1}{4}$
$AC = 7 \cdot 4 = 28$ см.

Ответ: 28 см.