Номер 59, страница 11 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Определите вид четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон четырёхугольника, диагонали — перпендикулярны.

59. Определите вид четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон четырёхугольника, диагонали — перпендикулярны.

Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Необходимо определить вид четырехугольника $KLMN$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По определению, $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Следовательно:
$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

2. Аналогично, рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $MN$ является его средней линией. Следовательно:
$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. По признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны), четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом. Этот факт также известен как теорема Вариньона.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ является его средней линией. Следовательно:
$KN \parallel BD$.

5. Мы установили, что $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$. Угол между двумя прямыми равен углу между любыми двумя другими прямыми, которые соответственно параллельны исходным. Таким образом, угол между смежными сторонами $KL$ и $KN$ параллелограмма $KLMN$ равен углу между диагоналями $AC$ и $BD$ исходного четырехугольника.

6. По условию задачи, диагонали четырехугольника $ABCD$ перпендикулярны, то есть угол между $AC$ и $BD$ равен $90^{\circ}$. Следовательно, угол между сторонами $KL$ и $KN$ также равен $90^{\circ}$.

7. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Так как $KLMN$ — это параллелограмм с прямым углом $\angle LKN = 90^{\circ}$, то $KLMN$ — прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник.