Номер 53, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. Постройте квадрат по его периметру.

53. Постройте квадрат по его периметру.

Для построения квадрата по его периметру необходимо сначала найти длину стороны квадрата, а затем построить сам квадрат с найденной стороной. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Анализ

Периметр квадрата $P$ связан с его стороной $a$ формулой $P = 4a$. Следовательно, чтобы найти сторону квадрата, нужно разделить его периметр на 4: $a = P/4$.Таким образом, задача сводится к двум шагам:
1. Построить отрезок, равный четверти длины данного отрезка (периметра).
2. Построить квадрат на полученном отрезке (стороне).

Построение

Пусть нам дан отрезок $MN$, длина которого равна периметру $P$ будущего квадрата.

1. Нахождение стороны квадрата.
   Чтобы найти отрезок, равный $P/4$, нужно дважды разделить данный отрезок пополам.
   • Построим серединный перпендикуляр к отрезку $MN$. Для этого из точек $M$ и $N$ проведем две дуги окружности с одинаковым радиусом (большим половины длины $MN$) так, чтобы они пересеклись с двух сторон от отрезка. Прямая, проходящая через точки пересечения дуг, разделит отрезок $MN$ в точке $K$ пополам. Длина отрезка $MK$ равна $P/2$.
   • Аналогично построим серединный перпендикуляр к отрезку $MK$. Он разделит его в точке $L$ пополам. Длина отрезка $ML$ будет равна $(P/2)/2 = P/4$. Это и есть искомая сторона квадрата $a$.
2. Построение квадрата.
   Теперь построим квадрат со стороной, равной длине отрезка $ML$.
   • На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, равный отрезку $ML$, с помощью циркуля. Это будет первая сторона квадрата.
   • В точке $A$ восставим перпендикуляр к прямой $AB$. Для этого из точки $A$ проведем окружность произвольного радиуса, которая пересечет прямую в двух точках. Из этих точек проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности) до их пересечения. Прямая, проходящая через точку $A$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна $AB$.
   • На этом перпендикуляре от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный $AB$ (используя циркуль с раствором, равным длине $ML$).
   • Из точки $B$ проведем дугу окружности с радиусом $AB$.
   • Из точки $D$ проведем дугу окружности с радиусом $AD$.
   • Точка пересечения этих двух дуг будет четвертой вершиной квадрата, обозначим ее $C$.
   • Соединим отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Полученная фигура $ABCD$ является искомым квадратом, так как все его стороны по построению равны $a = P/4$, а один из углов ( $\angle DAB$ ) прямой, что гарантирует, что все остальные углы также будут прямыми.

Ответ: Квадрат $ABCD$, построенный по вышеописанному алгоритму, является искомым, так как его сторона равна четверти заданного периметра, а все углы — прямые.