Номер 50, страница 10 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $AC = BC = 12$ см. Две стороны квадрата $CMKN$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $K$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите сторону квадрата.

50. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $AC = BC = 12$ см. Две стороны квадрата $CMKN$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $K$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите сторону квадрата.

По условию, в прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты равны: $AC = BC = 12$ см. Это значит, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а угол при вершине $C$ — прямой ($\angle C = 90^\circ$). В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны, и каждый из них составляет $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Таким образом, $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В треугольник вписан квадрат $CMKN$. Две его стороны ($CM$ и $CN$) лежат на катетах, а вершина $K$ — на гипотенузе. Пусть сторона квадрата равна $x$. Тогда $CM = CN = MK = KN = x$.

Рассмотрим один из двух меньших треугольников, которые образуются в углах $A$ и $B$. Возьмем треугольник $AMK$. Точка $M$ лежит на катете $AC$, поэтому длина отрезка $AM$ равна $AC - CM = 12 - x$.

Поскольку $CMKN$ — это квадрат, его сторона $MK$ параллельна стороне $CN$, а значит, и всему катету $BC$. Так как прямые $MK$ и $BC$ параллельны, а гипотенуза $AB$ является секущей, то соответственные углы при секущей равны: $\angle AKM = \angle ABC$.

Мы знаем, что $\angle ABC = 45^\circ$, следовательно, $\angle AKM$ также равен $45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $AMK$. В нем $\angle A = 45^\circ$ и $\angle AKM = 45^\circ$. Так как два угла в треугольнике равны, он является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AM = MK$.

Подставим в это равенство известные нам выражения для длин сторон: $AM = 12 - x$ $MK = x$

Получаем уравнение: $12 - x = x$ $12 = 2x$ $x = \frac{12}{2}$ $x = 6$

Таким образом, длина стороны квадрата $CMKN$ составляет 6 см.

Ответ: 6 см.