Номер 43, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как $4 : 5$.

43. Найдите углы ромба, если его сторона образует с диагоналями углы, которые относятся как 4 : 5.

Решение:

Пусть ABCD — ромб, AC и BD — его диагонали, которые пересекаются в точке O. Рассмотрим сторону AB. Углы, которые сторона AB образует с диагоналями AC и BD, — это углы $\angle BAC$ и $\angle ABD$.

По условию задачи, отношение этих углов равно $4:5$. Пусть $\angle BAC = 4x$ и $\angle ABD = 5x$.

Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол $\angle AOB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $\triangle AOB$ это означает: $\angle BAC + \angle ABD = 90^\circ$

Подставим в это уравнение наши выражения для углов: $4x + 5x = 90^\circ$

Решим полученное уравнение: $9x = 90^\circ$ $x = 10^\circ$

Теперь мы можем найти величину каждого из этих углов: $\angle BAC = 4x = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$ $\angle ABD = 5x = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$

Другое важное свойство ромба — его диагонали являются биссектрисами его углов. Следовательно, полные углы ромба будут в два раза больше найденных нами углов.

Угол A ромба: $\angle A = \angle DAB = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.

Угол B ромба: $\angle B = \angle ABC = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому $\angle C = \angle A = 80^\circ$ и $\angle D = \angle B = 100^\circ$. Сумма смежных углов $80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: углы ромба равны 80°, 100°, 80°, 100°.