Номер 44, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Угол между высотами $BM$ и $BN$, проведёнными из вершины $B$ ромба $ABCD$, равен $48^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

44. Угол между высотами $BM$ и $BN$, проведёнными из вершины $B$ ромба $ABCD$, равен $48^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

Пусть дан ромб $ABCD$. Из вершины $B$ проведены высоты $BM$ к стороне $AD$ и $BN$ к стороне $CD$. По определению высоты, $BM \perp AD$ и $BN \perp CD$, следовательно, $\angle BMD = 90^{\circ}$ и $\angle BND = 90^{\circ}$. По условию, угол между высотами $\angle MBN = 48^{\circ}$.

Рассмотрим четырехугольник $MBND$. Сумма углов в любом четырехугольнике равна $360^{\circ}$. В данном четырехугольнике нам известны три угла, что позволяет найти четвертый угол $\angle D$, который также является одним из углов ромба.

$\angle D + \angle MBN + \angle BMD + \angle BND = 360^{\circ}$

$\angle D + 48^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$

$\angle D + 228^{\circ} = 360^{\circ}$

$\angle D = 360^{\circ} - 228^{\circ} = 132^{\circ}$

Итак, один из углов ромба равен $132^{\circ}$. В ромбе соседние углы в сумме составляют $180^{\circ}$. Найдем другой угол ромба, например, угол $A$.

$\angle A = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}$

Таким образом, углы ромба равны $48^{\circ}$ и $132^{\circ}$.

Теперь найдем углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями. Важным свойством ромба является то, что его диагонали являются биссектрисами его углов. Это означает, что они делят углы ромба пополам.

Рассмотрим любую сторону ромба, например, $AB$.

Угол между стороной $AB$ и диагональю $AC$ равен половине угла $A$:

$\angle BAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{48^{\circ}}{2} = 24^{\circ}$

Угол между стороной $AB$ и диагональю $BD$ равен половине угла $B$. Так как противолежащие углы в ромбе равны, $\angle B = \angle D = 132^{\circ}$.

$\angle ABD = \frac{\angle B}{2} = \frac{132^{\circ}}{2} = 66^{\circ}$

Из-за симметрии ромба, любая его сторона будет образовывать с диагоналями углы $24^{\circ}$ и $66^{\circ}$.

Ответ: $24^{\circ}$ и $66^{\circ}$.