Номер 45, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Ромб. Вариант 1. Упражнения - номер 45, страница 9.

Условие 2017.

45. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины тупого угла, равен $42^\circ$. Найдите углы ромба.

Условие 2021.

45. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины тупого угла, равен $42^\circ$. Найдите углы ромба.

Решение 2021.

Пусть дан ромб $ABCD$. Пусть $\angle B$ и $\angle D$ — тупые углы, а $\angle A$ и $\angle C$ — острые. Из вершины тупого угла $B$ проведем высоту $BH$ к стороне $AD$ и диагональ $BD$. По условию задачи, угол между высотой и диагональю $\angle HBD = 42^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BHD$. Так как $BH$ является высотой ромба, опущенной на сторону $AD$, то $\angle BHD = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $BHD$ — прямоугольный.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для $\triangle BHD$ имеем:
$\angle HBD + \angle BDH = 90^\circ$

Мы знаем, что $\angle HBD = 42^\circ$, поэтому можем найти угол $\angle BDH$:
$\angle BDH = 90^\circ - \angle HBD = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов. Диагональ $BD$ делит угол $\angle D$ ($\angle ADC$) пополам. Угол $\angle BDH$ — это половина угла $\angle ADC$. Таким образом, мы можем найти полный угол $\angle ADC$:
$\angle ADC = 2 \cdot \angle BDH = 2 \cdot 48^\circ = 96^\circ$

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle A$ ($\angle DAB$), который прилежит к той же стороне $AD$, что и угол $\angle D$:
$\angle DAB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$

Противоположные углы в ромбе равны, поэтому углы ромба составляют две пары равных углов: $84^\circ$ и $96^\circ$.

Ответ: $84^\circ, 96^\circ, 84^\circ, 96^\circ$.