Номер 30, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. На рисунке 5 четырёхугольник $AFCE$ — параллелограмм. На прямой $FE$ отметили точки $B$ и $D$ так, что $FB = ED$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 5

30. На рисунке 5 четырёхугольник $AFCE$ — параллелограмм. На прямой $FE$ отметили точки $B$ и $D$ так, что $FB = ED$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Рис. 5

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, воспользуемся одним из признаков параллелограмма: если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

1. По условию задачи, четырехугольник AFCE — параллелограмм. Диагонали параллелограмма обладают свойством делиться точкой пересечения пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей AC и FE буквой O. Тогда, исходя из этого свойства, мы можем записать следующие равенства:
$AO = OC$
$FO = OE$

2. В условии сказано, что точки B, F, E и D лежат на одной прямой. Это означает, что точка O, которая является серединой отрезка FE, также лежит на прямой, содержащей отрезок BD. Таким образом, точка O является точкой пересечения диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD.

3. Мы уже знаем, что диагональ AC делится точкой O пополам. Теперь нам нужно доказать, что и диагональ BD делится точкой O пополам, то есть что $BO = DO$.

4. Рассмотрим длины отрезков BO и DO. Судя по расположению точек на прямой, мы можем выразить их длины через другие отрезки:
Длина отрезка BO равна сумме длин отрезков BF и FO: $BO = BF + FO$.
Длина отрезка DO равна сумме длин отрезков DE и EO: $DO = DE + EO$.

5. По условию задачи нам дано равенство $BF = ED$. Из свойства параллелограмма AFCE мы знаем, что $FO = OE$.

6. Сравним выражения для длин отрезков BO и DO. Поскольку $BF = ED$ и $FO = OE$, то правые части выражений для BO и DO равны: $BF + FO = ED + OE$.

7. Из равенства правых частей следует и равенство левых частей: $BO = DO$.

8. Таким образом, мы установили, что в четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам ($AO = OC$ и $BO = DO$).

9. Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали AC и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.