Номер 133, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Известно, что $\Delta ABC \sim \Delta A_1 B_1 C_1$, причём стороне $AB$ соответствует сторона $A_1 B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1 C_1$ (рис. 21). Найдите неизвестные стороны этих треугольников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Рис. 21

Первая пара треугольников

Треугольник $ABC$: известна сторона $AB = 12$. Стороны $BC$ и $AC$ неизвестны.

Треугольник $A_1 B_1 C_1$: известны стороны $A_1 B_1 = 6$, $B_1 C_1 = 8$, $A_1 C_1 = 9$.

Вторая пара треугольников

Треугольник $ABC$: известны стороны $BC = 6$, $AC = 12$. Сторона $AB$ неизвестна.

Треугольник $A_1 B_1 C_1$: известны стороны $B_1 C_1 = 6$, $A_1 C_1 = 8$. Сторона $A_1 B_1$ неизвестна.

133. Известно, что $\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1$, причём стороне $AB$ соответствует сторона $A_1B_1$, а стороне $BC$ — сторона $B_1C_1$ (рис. 21). Найдите неизвестные стороны этих треугольников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Рис. 21

Поскольку треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ подобны ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$), то отношения их соответственных сторон равны. Это отношение называется коэффициентом подобия $k$.

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

В этом случае известны стороны: $AB = 12$ см, $A_1B_1 = 6$ см, $B_1C_1 = 8$ см, $A_1C_1 = 9$ см.
Неизвестные стороны: $BC$ и $AC$.
1. Найдем коэффициент подобия $k$, используя известные соответственные стороны $AB$ и $A_1B_1$:
$k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{6} = 2$
2. Теперь найдем неизвестные стороны треугольника $ABC$, используя найденный коэффициент подобия.
Для стороны $BC$:
$\frac{BC}{B_1C_1} = k \implies \frac{BC}{8} = 2 \implies BC = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Для стороны $AC$:
$\frac{AC}{A_1C_1} = k \implies \frac{AC}{9} = 2 \implies AC = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: $BC = 16$ см, $AC = 18$ см.

В этом случае известны стороны: $AB = 6$ см, $AC = 12$ см, $B_1C_1 = 6$ см, $A_1C_1 = 8$ см.
Неизвестные стороны: $BC$ и $A_1B_1$.
1. Найдем коэффициент подобия $k$, используя известные соответственные стороны $AC$ и $A_1C_1$:
$k = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$
2. Теперь найдем неизвестные стороны, используя найденный коэффициент подобия.
Найдем сторону $BC$:
$\frac{BC}{B_1C_1} = k \implies \frac{BC}{6} = 1,5 \implies BC = 1,5 \cdot 6 = 9$ см.
Найдем сторону $A_1B_1$:
$\frac{AB}{A_1B_1} = k \implies \frac{6}{A_1B_1} = 1,5 \implies A_1B_1 = \frac{6}{1,5} = 4$ см.

Ответ: $BC = 9$ см, $A_1B_1 = 4$ см.