Номер 135, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Известно, что $\triangle ABC \overset{1,4}{\sim} \triangle A_1B_1C_1$, причём $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$. Найдите стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB + A_1B_1 = 36$ см и $AB : BC : AC = 3 : 7 : 8$.

135. Известно, что $\Delta ABC \sim^{1,4} \Delta A_1B_1C_1$, причём $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$. Найдите стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB + A_1B_1 = 36$ см и $AB : BC : AC = 3 : 7 : 8$.

По условию, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ подобны. Из записи $ \triangle ABC \sim^{1,4} \triangle A_1B_1C_1 $ следует, что коэффициент подобия $ k = \frac{A_1B_1}{AB} = 1.4 $.

Соотношение сторон треугольника $ \triangle ABC $ задано как $ AB : BC : AC = 3 : 7 : 8 $. Введем коэффициент пропорциональности $ x $. Тогда длины сторон треугольника $ \triangle ABC $ можно выразить следующим образом:
$ AB = 3x $
$ BC = 7x $
$ AC = 8x $

Используя коэффициент подобия, выразим сторону $ A_1B_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $ через $ x $:
$ A_1B_1 = k \cdot AB = 1.4 \cdot (3x) = 4.2x $

В условии дано, что сумма длин сторон $ AB $ и $ A_1B_1 $ равна 36 см. Составим и решим уравнение:
$ AB + A_1B_1 = 36 $
$ 3x + 4.2x = 36 $
$ 7.2x = 36 $
$ x = \frac{36}{7.2} = \frac{360}{72} = 5 $

Теперь, зная, что $ x = 5 $, можем вычислить длины всех сторон обоих треугольников.
Стороны треугольника $ \triangle ABC $:
$ AB = 3x = 3 \cdot 5 = 15 $ см
$ BC = 7x = 7 \cdot 5 = 35 $ см
$ AC = 8x = 8 \cdot 5 = 40 $ см

Стороны треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $:
$ A_1B_1 = k \cdot AB = 1.4 \cdot 15 = 21 $ см
$ B_1C_1 = k \cdot BC = 1.4 \cdot 35 = 49 $ см
$ A_1C_1 = k \cdot AC = 1.4 \cdot 40 = 56 $ см

Проверка: $ AB + A_1B_1 = 15 + 21 = 36 $ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: стороны треугольника $ \triangle ABC $ равны 15 см, 35 см, 40 см; стороны треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $ равны 21 см, 49 см, 56 см.