Номер 138, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $ADEF$ (рис. 23). Найдите сторону $AC$ треугольника, если $AB = 20$ см, $FE = 12$ см, $AF = 14$ см.

Рис. 23

138. В треугольник $ABC$ вписан параллелограмм $ADEF$ (рис. 23). Найдите сторону $AC$ треугольника, если $AB = 20$ см, $FE = 12$ см, $AF = 14$ см.

Рис. 23

По условию задачи, четырехугольник ADEF является параллелограммом. Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны и параллельны.

Следовательно, мы имеем следующие равенства и соотношения:

1. Сторона AD равна противоположной стороне FE. Так как FE = 12 см, то $AD = 12$ см.

2. Сторона DE равна противоположной стороне AF. Так как AF = 14 см, то $DE = 14$ см.

3. Сторона DE параллельна стороне AF. Поскольку точка F лежит на стороне AC, то прямая DE параллельна прямой AC ($DE \parallel AC$).

Точка D лежит на отрезке AB. Зная длины AB и AD, мы можем найти длину отрезка BD:

$BD = AB - AD = 20 \text{ см} - 12 \text{ см} = 8 \text{ см}$

Рассмотрим треугольники BDE и BAC. Поскольку прямая DE параллельна прямой AC, эти треугольники подобны (ΔBDE ~ ΔBAC). Подобие следует из равенства углов:

• $∠ABC$ — общий угол для обоих треугольников.
• $∠BDE = ∠BAC$ — как соответственные углы при параллельных прямых DE и AC и секущей AB.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны:

$\frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AC}$

Подставим известные нам значения в эту пропорцию:

$\frac{8}{20} = \frac{14}{AC}$

Выразим AC из этого уравнения:

$AC = \frac{14 \times 20}{8} = \frac{280}{8} = 35 \text{ см}$

Ответ: 35 см.