Номер 143, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BE$ и $BF$ (рис. 26). Докажите подобие треугольников $\triangle ABE$ и $\triangle CBF$.

Рис. 26

143. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BE$ и $BF$ (рис. 26). Докажите подобие треугольников $ABE$ и $CBF$.

Рис. 26

Для доказательства подобия треугольников $ABE$ и $CBF$ воспользуемся первым признаком подобия треугольников — по двум равным углам.

1. Рассмотрим углы $\angle AEB$ и $\angle BFC$. По условию, $BE$ и $BF$ — высоты параллелограмма $ABCD$. Это означает, что $BE$ перпендикулярна стороне $AD$, а $BF$ перпендикулярна стороне $CD$. Следовательно, треугольники $ABE$ и $CBF$ являются прямоугольными. Угол $\angle AEB = 90^\circ$ и угол $\angle BFC = 90^\circ$. Таким образом, мы имеем первую пару равных углов: $\angle AEB = \angle BFC$.

2. Рассмотрим углы $\angle BAE$ и $\angle BCF$. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие углы равны. Значит, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $C$. То есть, $\angle BAE = \angle BCF$. Это вторая пара равных углов в рассматриваемых треугольниках.

Поскольку два угла треугольника $ABE$ (а именно $\angle AEB$ и $\angle BAE$) соответственно равны двум углам треугольника $CBF$ (а именно $\angle BFC$ и $\angle BCF$), то по признаку подобия по двум углам, треугольники $ABE$ и $CBF$ подобны: $\triangle ABE \sim \triangle CBF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ABE$ и $CBF$ подобны по двум углам, так как $\angle AEB = \angle BFC = 90^\circ$ (поскольку $BE$ и $BF$ — высоты) и $\angle BAE = \angle BCF$ (как противолежащие углы параллелограмма).