Номер 147, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. В трапеции ABCD $(BC \parallel AD)$ O — точка пересечения диагоналей, $(AO : OC = 5 : 2)$. Найдите большее основание трапеции, если её средняя линия равна 7 см.

147. В трапеции ABCD ($BC \parallel AD$) O — точка пересечения диагоналей, $AO : OC = 5 : 2$. Найдите большее основание трапеции, если её средняя линия равна 7 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, где $BC \parallel AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то:
1. $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы).
2. $\angle BCO = \angle DAO$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).

Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам. Из подобия следует, что отношение их соответственных сторон равно: $$ \frac{AD}{BC} = \frac{AO}{OC} $$

По условию задачи дано отношение $AO : OC = 5 : 2$. Значит, и отношение оснований трапеции такое же: $$ \frac{AD}{BC} = \frac{5}{2} $$ Из этого соотношения следует, что $AD$ является большим основанием, а $BC$ — меньшим. Выразим $AD$ через $BC$: $AD = \frac{5}{2}BC$.

Средняя линия трапеции ($m$) вычисляется по формуле: $$ m = \frac{AD + BC}{2} $$

По условию, средняя линия равна 7 см. Подставим это значение в формулу: $$ 7 = \frac{AD + BC}{2} $$ Отсюда получаем, что сумма оснований равна $AD + BC = 14$ см.

Теперь составим систему из двух уравнений:
1) $AD = \frac{5}{2}BC$
2) $AD + BC = 14$

Подставим выражение для $AD$ из первого уравнения во второе: $$ \frac{5}{2}BC + BC = 14 $$ $$ (\frac{5}{2} + 1)BC = 14 $$ $$ \frac{7}{2}BC = 14 $$

Теперь найдем длину меньшего основания $BC$: $$ BC = 14 \cdot \frac{2}{7} = 4 \text{ см} $$

Зная $BC$, найдем длину большего основания $AD$, используя второе уравнение системы: $$ AD = 14 - BC = 14 - 4 = 10 \text{ см} $$

Ответ: 10 см.