Номер 151, страница 22 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

151. Точка K удалена на 3 см от центра окружности радиуса 5 см. Через точку K проведена хорда длиной 8 см. Найдите отрезки, на которые точка K делит эту хорду.

151. Точка K удалена на 3 см от центра окружности радиуса 5 см. Через точку K проведена хорда длиной 8 см. Найдите отрезки, на которые точка K делит эту хорду.

Пусть O — центр окружности, R — ее радиус, AB — данная хорда, а K — точка на этой хорде. Из условия задачи известны следующие величины:

• Радиус окружности: $R = 5$ см.
• Длина хорды: $AB = 8$ см.
• Расстояние от центра до точки K: $OK = 3$ см.

Требуется найти длины отрезков, на которые точка K делит хорду AB.

Для решения задачи найдем расстояние от центра окружности до хорды AB. Для этого проведем из центра O перпендикуляр OM к хорде AB. По свойству, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка M является серединой хорды AB.
Длины отрезков AM и MB равны:
$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. Его гипотенуза OA является радиусом окружности ($OA = R = 5$ см), а катет AM — половиной хорды ($AM = 4$ см). Найдем длину второго катета OM, который представляет собой расстояние от центра окружности до хорды AB, по теореме Пифагора:
$OM^2 + AM^2 = OA^2$
$OM^2 = OA^2 - AM^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
$OM = \sqrt{9} = 3$ см.

Таким образом, расстояние от центра O до хорды AB равно 3 см. По условию задачи, точка K также удалена от центра O на 3 см ($OK = 3$ см) и при этом лежит на хорде AB.
Поскольку расстояние от точки (O) до прямой (AB) — это длина перпендикуляра (OM), а точка K лежит на прямой AB и расстояние от нее до O равно длине этого перпендикуляра ($OK = OM = 3$ см), то точка K должна совпадать с точкой M, то есть с основанием перпендикуляра.

Так как точка K совпадает с точкой M, которая является серединой хорды AB, то точка K делит хорду AB на два равных отрезка:
$AK = 4$ см и $KB = 4$ см.

Ответ: 4 см и 4 см.