Номер 140, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведённая к ней, — 4 см. В треугольник вписан прямоугольник, большая сторона которого принадлежит данной стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как $5 : 9$.

140. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, — 4 см. В треугольник вписан прямоугольник, большая сторона которого принадлежит данной стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как $5 : 9$.

Решение:

Обозначим данный треугольник как $ABC$, где сторона $AC = 12$ см. Проведем высоту $BH$ к стороне $AC$, по условию $BH = 4$ см.

В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $KLMN$ так, что его большая сторона $KL$ лежит на стороне $AC$, а вершины $M$ и $N$ лежат на сторонах $BC$ и $AB$ соответственно. Сторона $MN$ прямоугольника параллельна стороне $AC$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Согласно условию, их отношение равно $5:9$. Так как большая сторона прямоугольника лежит на стороне треугольника, то $b$ — это длина стороны $KL$, а $a$ — это высота прямоугольника, т.е. $a = KN = LM$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда стороны прямоугольника будут:
$a = 5x$ (высота прямоугольника)
$b = 9x$ (основание прямоугольника, $KL = MN = 9x$)

Рассмотрим треугольник $ABC$ и треугольник $NBM$. Прямая $NM$ параллельна прямой $AC$, следовательно, треугольник $NBM$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам (угол $B$ — общий, $\angle BNM = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $NM$ и $AC$ и секущей $AB$).

В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно отношению соответственных высот.
Высота большого треугольника $ABC$ — это $BH = 4$ см.
Проведем высоту $BP$ треугольника $NBM$ из вершины $B$ на сторону $NM$. Длина этой высоты будет равна разности высоты $BH$ и высоты прямоугольника $a$.
$BP = BH - PH = BH - a = 4 - 5x$.

Теперь составим пропорцию, используя отношение высот и оснований подобных треугольников:
$\frac{BP}{BH} = \frac{NM}{AC}$

Подставим известные значения и выражения в пропорцию:
$\frac{4 - 5x}{4} = \frac{9x}{12}$

Сократим дробь в правой части уравнения:
$\frac{4 - 5x}{4} = \frac{3x}{4}$

Так как знаменатели равны, мы можем приравнять числители:
$4 - 5x = 3x$
$4 = 3x + 5x$
$4 = 8x$
$x = \frac{4}{8} = 0.5$

Теперь найдем длины сторон прямоугольника, подставив значение $x$:
Меньшая сторона: $a = 5x = 5 \cdot 0.5 = 2.5$ см.
Большая сторона: $b = 9x = 9 \cdot 0.5 = 4.5$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 2,5 см и 4,5 см.