Номер 132, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $E$ и $D$ соответственно. Отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. В каком отношении точка $F$ делит отрезок $CE$, если $BE : EA = 2 : 1$ и $BD : DC = 6 : 7$?

132. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $E$ и $D$ соответственно. Отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. В каком отношении точка $F$ делит отрезок $CE$, если $BE : EA = 2 : 1$ и $BD : DC = 6 : 7$?

Для решения данной задачи можно использовать теорему Менелая. Эта теорема устанавливает соотношение между отрезками, на которые прямая рассекает стороны треугольника (или их продолжения).

Рассмотрим треугольник $ \triangle BCE $ и прямую $AD$ в качестве секущей (трансверсали). Эта прямая пересекает сторону $BC$ в точке $D$, сторону $CE$ в точке $F$ и продолжение стороны $BE$ (которое является лучом $BA$) в точке $A$.

Согласно теореме Менелая для треугольника $ \triangle BCE $ и секущей $AD$, справедливо следующее соотношение:

$ \frac{BA}{AE} \cdot \frac{EF}{FC} \cdot \frac{CD}{DB} = 1 $

Для того чтобы использовать эту формулу, необходимо найти значения отношений сторон из условия задачи.

1. Нам дано отношение $BE : EA = 2 : 1$. Это означает, что отрезок $BE$ в два раза длиннее отрезка $EA$. Если принять длину $EA = x$, то $BE = 2x$. Тогда вся сторона $AB$ равна сумме этих отрезков: $AB = AE + EB = x + 2x = 3x$.
Теперь мы можем найти отношение $ \frac{BA}{AE} $: $ \frac{BA}{AE} = \frac{3x}{x} = 3 $.

2. Нам дано отношение $BD : DC = 6 : 7$. Для формулы Менелая нам понадобится обратное отношение, $ \frac{CD}{DB} $: $ \frac{CD}{DB} = \frac{7}{6} $.

Теперь подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$ 3 \cdot \frac{EF}{FC} \cdot \frac{7}{6} = 1 $

Выполним умножение в левой части уравнения:

$ \frac{21}{6} \cdot \frac{EF}{FC} = 1 $

Сократим дробь $ \frac{21}{6} $ на 3:

$ \frac{7}{2} \cdot \frac{EF}{FC} = 1 $

Из этого уравнения выразим отношение $ \frac{EF}{FC} $, которое показывает, как соотносятся отрезки, на которые точка $F$ делит сегмент $CE$:

$ \frac{EF}{FC} = \frac{2}{7} $

В вопросе требуется найти, в каком отношении точка $F$ делит отрезок $CE$. Обычно это отношение записывается в виде $CF : FE$. Из полученного нами равенства $ \frac{EF}{FC} = \frac{2}{7} $ следует, что $ \frac{CF}{FE} = \frac{7}{2} $.

Таким образом, точка $F$ делит отрезок $CE$ в отношении $7 : 2$, считая от вершины $C$.

Ответ: $7:2$