Страница 32 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. Высота, проведённая из вершины тупого угла ромба, делит сторону на отрезки длиной 7 см и 8 см, считая от вершины тупого угла. Найдите площадь ромба.

237. Высота, проведённая из вершины тупого угла ромба, делит сторону на отрезки длиной 7 см и 8 см, считая от вершины тупого угла. Найдите площадь ромба.

Пусть дан ромб ABCD, в котором углы B и D — тупые, а углы A и C — острые. Проведём высоту BH из вершины тупого угла B на сторону AD. Основание высоты, точка H, лежит на стороне AD.

Согласно условию, высота BH делит сторону AD на два отрезка длиной 7 см и 8 см. Следовательно, сторона ромба a, равная AD, является суммой длин этих отрезков:

$a = AD = 7 + 8 = 15$ см.

В условии сказано, что отсчёт отрезков ведётся от вершины тупого угла. На стороне AD вершина D соответствует тупому углу ромба, так как угол D равен углу B, который является тупым. Значит, отрезок, прилежащий к вершине D, — это HD. Примем, что его длина равна 7 см, а длина второго отрезка, AH, равна 8 см. То есть, $HD = 7$ см и $AH = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём гипотенуза AB равна стороне ромба ($AB = a = 15$ см), один из катетов — это отрезок $AH = 8$ см, а второй катет BH является высотой ромба h.

По теореме Пифагора найдём высоту BH:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Отсюда выразим $BH^2$:

$h^2 = BH^2 = AB^2 - AH^2 = 15^2 - 8^2$

$h^2 = 225 - 64 = 161$

$h = \sqrt{161}$ см.

Площадь ромба S вычисляется по формуле произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

$S = a \cdot h = AD \cdot BH$

$S = 15 \cdot \sqrt{161}$ см².

Ответ: $15\sqrt{161}$ см².

238. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите площадь ромба.

238. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите площадь ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, следовательно, треугольник $AOD$ является прямоугольным, где $\angle AOD = 90^\circ$.

Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AD$. По условию задачи, этот перпендикуляр делит сторону на отрезки $AH = 4$ см и $HD = 9$ см.

Длина стороны ромба $a$ равна сумме длин этих отрезков:$a = AD = AH + HD = 4 + 9 = 13$ см.

В прямоугольном треугольнике $AOD$ отрезок $OH$ является высотой, проведённой к гипотенузе $AD$. По свойству высоты прямоугольного треугольника, её квадрат равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу:$OH^2 = AH \cdot HD$

Подставив известные значения, найдём длину высоты $OH$:$OH^2 = 4 \cdot 9 = 36$$OH = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $AOD$, используя формулу площади треугольника (половина произведения основания на высоту):$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot OH$$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39$ см².

Диагонали ромба делят его на четыре равных по площади прямоугольных треугольника. Таким образом, площадь всего ромба $S_{ABCD}$ в четыре раза больше площади треугольника $AOD$:$S_{ABCD} = 4 \cdot S_{\triangle AOD} = 4 \cdot 39 = 156$ см².

Ответ: 156 см².

239. Сторона треугольника равна 8 см, а высота, проведённая к ней, — 4,5 см. Найдите площадь треугольника.

239. Сторона треугольника равна 8 см, а высота, проведённая к ней, — 4,5 см. Найдите площадь треугольника.

Для вычисления площади треугольника используется формула, связывающая длину его стороны и высоту, проведенную к этой стороне.

Формула площади треугольника имеет вид: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – это длина стороны треугольника (основание), а $h$ – это длина высоты, опущенной на эту сторону.

В соответствии с условиями задачи нам известны следующие величины:

• Длина стороны треугольника: $a = 8$ см.
• Длина высоты, проведенной к этой стороне: $h = 4,5$ см.

Теперь подставим эти значения в формулу и выполним расчет:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 4,5 \text{ см}$

$S = 4 \text{ см} \cdot 4,5 \text{ см}$

$S = 18 \text{ см}^2$

Следовательно, площадь треугольника составляет 18 квадратных сантиметров.

Ответ: $18 \text{ см}^2$.

240. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6 см и 9 см.

240. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6 см и 9 см.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) равна половине произведения его катетов ($a$ и $b$). Формула для расчёта выглядит следующим образом:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Согласно условию задачи, катеты треугольника равны 6 см и 9 см. Подставим эти значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 9 \text{ см}$
Выполним вычисление:
$S = 3 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 27 \text{ см}^2$

Ответ: 27 см².

241. Площадь треугольника равна 84 $cm^2$, а одна из его сторон – 8 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к этой стороне.

241. Площадь треугольника равна $84$ $см^2$, а одна из его сторона – $8$ $см$. Найдите высоту треугольника, проведённую к этой стороне.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — это длина стороны треугольника, а $h$ — это высота, проведённая к этой стороне.

По условию задачи нам даны:
Площадь треугольника $S = 84$ см².
Длина одной из его сторон $a = 8$ см.

Для того чтобы найти высоту $h$, проведённую к данной стороне, необходимо выразить её из формулы площади:
$2 \cdot S = a \cdot h$
$h = \frac{2S}{a}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу:
$h = \frac{2 \cdot 84}{8}$

Выполним вычисления:
$h = \frac{168}{8} = 21$ см.

Ответ: 21 см.

242. Какие из треугольников, изображённых на рисунке 37, равновелики?

Рис. 37

242. Какие из треугольников, изображённых на рисунке 37, равновелики?

Рис. 37

Равновеликими называются фигуры, имеющие одинаковую площадь. Чтобы определить, какие из представленных треугольников равновелики, необходимо вычислить площадь каждого из них. За единицу длины примем сторону одной клетки на рисунке.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} a h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию.

а
Основание треугольника равно 4 единицам, а высота, проведённая к этому основанию, равна 3 единицам.
$S_а = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

б
Основание треугольника равно 4 единицам, высота, проведённая к этому основанию, — 3 единицам.
$S_б = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

в
Основание треугольника равно 4 единицам, высота, проведённая к этому основанию, — 3 единицам.
$S_в = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

г
Данный треугольник является прямоугольным. Его катеты равны 6 и 2 единицам. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
$S_г = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

д
Основание треугольника равно 6 единицам, а высота, проведённая к нему, — 2 единицам.
$S_д = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

е
Площадь этого треугольника удобно найти, достроив его до прямоугольника. Прямоугольник, описанный вокруг треугольника, будет иметь размеры 5 на 2 единицы, а его площадь составит $5 \cdot 2 = 10$ кв. ед. Площадь искомого треугольника равна площади прямоугольника за вычетом площадей трёх прямоугольных треугольников, которые его дополняют.
Площади этих треугольников: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1.5$ кв. ед., $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ кв. ед., $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = 2.5$ кв. ед.
Площадь треугольника 'е' равна: $S_е = 10 - (1.5 + 2 + 2.5) = 10 - 6 = 4$ (кв. ед.).
Ответ: 4 кв. ед.

ж
Площадь этого треугольника также найдём методом достроения до прямоугольника. Описанный прямоугольник имеет размеры 6 на 3 единицы, его площадь равна $6 \cdot 3 = 18$ кв. ед.
Площади трёх дополнительных прямоугольных треугольников: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1.5$ кв. ед., $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5$ кв. ед., $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ кв. ед.
Площадь треугольника 'ж' равна: $S_ж = 18 - (1.5 + 4.5 + 6) = 18 - 12 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

Сравнив вычисленные площади, можно сделать вывод, что треугольники а, б, в, г, д и ж имеют одинаковую площадь, равную 6 кв. ед., в то время как площадь треугольника е равна 4 кв. ед. Таким образом, равновеликими являются треугольники а, б, в, г, д, ж.

243. Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 6 см, а боковая сторона — 5 см.

243. Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 6 см, а боковая сторона — 5 см.

Для нахождения площади треугольника используется формула $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это значит, что она делит основание на два равных отрезка. Проведем высоту $h$ к основанию $a = 6$ см. Она разделит основание на два отрезка по $6 / 2 = 3$ см.

Эта высота образует два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников:

• гипотенуза — это боковая сторона заданного равнобедренного треугольника, равная 5 см;
• один катет — это половина основания, равная 3 см;
• второй катет — это высота $h$, которую нам нужно найти.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h^2 + 3^2 = 5^2$

$h^2 + 9 = 25$

$h^2 = 25 - 9$

$h^2 = 16$

$h = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь, когда известны основание и высота, можно вычислить площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: 12 $\text{см}^2$.

244. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 4 см и 7 см, а угол между ними равен:

1) $30^\circ$;

2) $120^\circ$.

244. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 4 см и 7 см, а угол между ними равен:

1) $30^\circ$;

2) $120^\circ$.

Для нахождения площади треугольника, зная две его стороны и угол между ними, используется следующая формула:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

где $a$ и $b$ – длины двух сторон треугольника, а $\gamma$ – угол между этими сторонами.

По условию задачи даны стороны $a = 4$ см и $b = 7$ см. Рассмотрим два случая для угла $\gamma$.

1) 30°

В этом случае угол между сторонами $\gamma = 30°$.

Подставим значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \sin(30°)$

Известно, что значение синуса 30 градусов равно $\frac{1}{2}$.

Тогда вычисление будет следующим:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{28}{4} = 7$ см².

Ответ: 7 см².

2) 120°

В этом случае угол между сторонами $\gamma = 120°$.

Подставим значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \sin(120°)$

Для нахождения значения $\sin(120°)$ воспользуемся формулой приведения $\sin(180° - \alpha) = \sin(\alpha)$:

$\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{28\sqrt{3}}{4} = 7\sqrt{3}$ см².

Ответ: $7\sqrt{3}$ см².