Страница 35 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

264. Площадь трапеции равна 198 $ \text{см}^2 $, одно из оснований — 15 см, а высота — 9 см. Найдите другое основание трапеции.

264. Площадь трапеции равна 198 $см^2$, одно из оснований — 15 см, а высота — 9 см. Найдите другое основание трапеции.

Площадь трапеции ($S$) вычисляется по формуле, которая связывает её основания ($a$ и $b$) и высоту ($h$):
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

По условию задачи нам даны следующие значения:
Площадь $S = 198 \text{ см}^2$.
Одно из оснований (пусть это будет $a$) равно $15 \text{ см}$.
Высота $h = 9 \text{ см}$.

Необходимо найти длину второго основания $b$.

Подставим известные значения в формулу площади:
$198 = \frac{15 + b}{2} \cdot 9$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $b$. Сначала выразим сумму оснований $(15 + b)$:
$15 + b = \frac{198 \cdot 2}{9}$
Выполним вычисления:
$15 + b = \frac{396}{9}$
$15 + b = 44$

Теперь найдем значение $b$:
$b = 44 - 15$
$b = 29$

Следовательно, длина другого основания трапеции составляет 29 см.

Ответ: 29 см.

265. Площадь трапеции равна $24 \text{ см}^2$, а её высота — 4 см.
Найдите основания трапеции, если они относятся как
$1 : 5$.

265. Площадь трапеции равна $24 \text{ см}^2$, а её высота — $4 \text{ см}$.

Найдите основания трапеции, если они относятся как

$1 : 5$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $S$ — площадь, $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Согласно условию задачи, площадь $S = 24$ см², а высота $h = 4$ см. Основания относятся друг к другу как $1:5$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда меньшее основание $a$ будет равно $x$ см, а большее основание $b$ будет равно $5x$ см.

Подставим известные значения в формулу площади трапеции:

$24 = \frac{x + 5x}{2} \cdot 4$

Теперь решим полученное уравнение:

$24 = \frac{6x}{2} \cdot 4$

$24 = 3x \cdot 4$

$24 = 12x$

$x = \frac{24}{12}$

$x = 2$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти длины оснований:

Меньшее основание $a = x = 2$ см.

Большее основание $b = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Ответ: 2 см и 10 см.

266. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 6 см и 12 см, а боковая сторона равна 8 см и образует с меньшим основанием угол $120^\circ$.

266. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 6 см и 12 см, а боковая сторона равна 8 см и образует с меньшим основанием угол $120^\circ$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

По условию задачи, основания трапеции равны $a = 6$ см и $b = 12$ см. Боковая сторона равна 8 см. Нам необходимо найти высоту $h$.

Решение:

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания. $BC = 6$ см (меньшее основание), $AD = 12$ см (большее основание). Пусть боковая сторона $AB = 8$ см.

Угол между боковой стороной $AB$ и меньшим основанием $BC$ равен $\angle ABC = 120^{\circ}$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^{\circ}$.

Следовательно, угол при большем основании $\angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $ABH$, в котором гипотенуза $AB = 8$ см, а угол $\angle BAH$ (он же $\angle BAD$) равен $60^{\circ}$. Высота трапеции $h$ будет равна катету $BH$.

Найдем катет $BH$ через синус известного угла:

$h = BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = 8 \cdot \sin(60^{\circ})$.

Зная, что значение $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, когда известна высота, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{6 + 12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{18}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 9 \cdot 4\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см².

Ответ: $36\sqrt{3}$ см².

267. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ — 17 см. Найдите площадь трапеции.

267. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ – 17 см. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

По условию задачи, основания равнобокой трапеции равны $a = 18$ см и $b = 12$ см, а диагональ $d = 17$ см. Для вычисления площади необходимо найти высоту $h$.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями $AD = 18$ см и $BC = 12$ см, и диагональю $AC = 17$ см. Проведем из вершины C высоту CH на большее основание AD. Образуется прямоугольный треугольник AHC, в котором AC является гипотенузой, а AH и CH — катетами.

Найдем длину катета AH. В равнобокой трапеции, если провести две высоты из вершин меньшего основания (в нашем случае CH и BK), то они отсекут на большем основании равные отрезки (AK = HD). Длину этих отрезков можно найти как полуразность оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Длина отрезка AH складывается из длины отрезка, равного меньшему основанию (KH = BC = 12 см), и отрезка AK, который равен HD. Но проще найти AH как разность всего основания AD и отрезка HD:

$AH = AD - HD = 18 - 3 = 15$ см.

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AHC ($AC^2 = AH^2 + CH^2$), найдем высоту $h = CH$:

$h^2 = AC^2 - AH^2$

$h^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Зная высоту, вычисляем площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{18 + 12}{2} \cdot 8 = \frac{30}{2} \cdot 8 = 15 \cdot 8 = 120$ см².

Ответ: 120 см².

268. Найдите площадь равнобокой трапеции, большее основание которой равно $9\sqrt{3}$ см, боковая сторона — 8 см, а угол при меньшем основании — $150^\circ$.

268. Найдите площадь равнобокой трапеции, большее основание которой равно $9\sqrt{3}$ см, боковая сторона — 8 см, а угол при меньшем основании — $150^\circ$.

Для нахождения площади равнобокой трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

По условию задачи дано:
- большее основание $a = 9\sqrt{3}$ см;
- боковая сторона $c = 8$ см;
- угол при меньшем основании равен $150^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Следовательно, угол при большем основании составляет:
$\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получится прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции ($c = 8$ см), а одним из острых углов — угол при большем основании ($\alpha = 30^\circ$). Высота трапеции $h$ будет катетом, противолежащим этому углу.
Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы, поэтому:
$h = c \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Теперь найдем меньшее основание $b$. Для этого сначала найдем длину отрезка $x$, который высота отсекает от большего основания. Этот отрезок является катетом в том же прямоугольном треугольнике:
$x = c \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
Так как трапеция равнобокая, с обеих сторон от меньшего основания до вершин большего основания находятся два таких одинаковых отрезка. Меньшее основание можно найти, вычтя длины этих двух отрезков из длины большего основания:
$b = a - 2x = 9\sqrt{3} - 2 \cdot 4\sqrt{3} = 9\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь, зная оба основания и высоту, можем вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{9\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} \cdot 4 = \frac{10\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 5\sqrt{3} \cdot 4 = 20\sqrt{3}$ см².

Ответ: $20\sqrt{3}$ см².

269. Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 41 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 41

AB = 8, $\angle A = 45^\circ$, AD = 16, CD = 6.

$\angle A = 90^\circ$, CD = 8, $\angle D = 30^\circ$, AD = $6\sqrt{3}$.

269. Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 41 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 41

a

Вершины: A, B, C, D

Угол A: $45^\circ$

Сторона AB: 8

Сторона CD: 6

Сторона AD: 16

б

Вершины: A, B, C, D

Угол A: $90^\circ$

Сторона CD: 8

Угол D: $30^\circ$

Сторона AD: $6\sqrt{3}$

а

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, а $h$ - высота трапеции.

1. Проведём высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Высота трапеции $h = BH = CK$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол $\angle A = 45^\circ$, гипотенуза $AB = 8$ см. Найдём высоту BH и катет AH:

$h = BH = AB \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

$AH = AB \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD. Гипотенуза $CD = 6$ см, катет $CK = h = 4\sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора найдём катет KD:

$KD = \sqrt{CD^2 - CK^2} = \sqrt{6^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 32} = \sqrt{4} = 2$ см.

4. Длина большего основания AD складывается из отрезков AH, HK и KD: $AD = AH + HK + KD$. Четырёхугольник BCKH является прямоугольником, поэтому $BC = HK$. Найдём длину меньшего основания BC:

$BC = HK = AD - AH - KD = 16 - 4\sqrt{2} - 2 = 14 - 4\sqrt{2}$ см.

5. Вычислим площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{16 + (14 - 4\sqrt{2})}{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{30 - 4\sqrt{2}}{2} \cdot 4\sqrt{2} = (15 - 2\sqrt{2}) \cdot 4\sqrt{2} = 60\sqrt{2} - 16$ см².

Ответ: $60\sqrt{2} - 16$ см².

б

Данная трапеция ABCD является прямоугольной, так как $\angle A = 90^\circ$. Её высота $h$ равна стороне AB.

1. Проведём высоту CK из вершины C на основание AD. Так как трапеция прямоугольная, $h = AB = CK$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD. Угол $\angle D = 30^\circ$, гипотенуза $CD = 8$ см. Найдём высоту CK (которая является катетом, противолежащим углу 30°) и катет KD:

$h = CK = CD \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

$KD = CD \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

3. Большее основание $AD = 6\sqrt{3}$ см. Четырёхугольник ABCK является прямоугольником, поэтому $BC = AK$. Найдём длину меньшего основания BC:

$BC = AK = AD - KD = 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

4. Вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$:

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = \frac{8\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².

270. Основания прямоугольной трапеции равны 8 см и 7 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

270. Основания прямоугольной трапеции равны 8 см и 7 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям ($AB \perp AD$ и $AB \perp BC$). Таким образом, углы $\angle A$ и $\angle B$ являются прямыми и равны $90^\circ$.

По условию, основания трапеции равны 8 см и 7 см. Пусть большее основание $AD = 8$ см, а меньшее основание $BC = 7$ см.

В трапеции есть две диагонали: $AC$ и $BD$. Найдем, какая из них меньшая. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ABC$.

По теореме Пифагора:

• В $\triangle ABD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = AB^2 + 8^2 = AB^2 + 64$.
• В $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = AB^2 + 7^2 = AB^2 + 49$.

Так как $49 < 64$, то $AC^2 < BD^2$, и, следовательно, $AC < BD$. Значит, меньшая диагональ трапеции — это $AC$.

По условию задачи, меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла. Диагональ $AC$ выходит из вершины $A$, где угол прямой. Следовательно, $AC$ — биссектриса угла $A$.

Биссектриса делит угол пополам, поэтому $\angle BAC = \angle CAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AC$. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Поскольку $\angle CAD = 45^\circ$, то и $\angle BCA = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Мы знаем, что:

• $\angle B = 90^\circ$ (так как трапеция прямоугольная).
• $\angle BAC = 45^\circ$.
• $\angle BCA = 45^\circ$.

Поскольку два угла в треугольнике $\triangle ABC$ равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AB = BC$.

Так как $BC = 7$ см, то и $AB = 7$ см. Сторона $AB$ является высотой трапеции, то есть $h = 7$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

Подставим наши значения:

$a = AD = 8$ см

$b = BC = 7$ см

$h = AB = 7$ см

$S = \frac{8 + 7}{2} \cdot 7 = \frac{15}{2} \cdot 7 = 7.5 \cdot 7 = 52.5$ см$^2$.

Ответ: $52.5$ см$^2$.

271. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 22 см и 50 см, а диагонали делят её тупые углы пополам.

271. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 22 см и 50 см, а диагонали делят её тупые углы пополам.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию задачи, большее основание $AD = 50$ см, а меньшее основание $BC = 22$ см.

Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны ($AB = CD$), а углы при основаниях также равны. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ при меньшем основании являются тупыми.

В условии сказано, что диагонали делят тупые углы пополам. Рассмотрим диагональ AC, которая является биссектрисой угла $\angle BCD$. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.

Основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$). Прямая AC является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими, и они равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Сопоставив два полученных равенства ($\angle BCA = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle CAD$), получаем, что $\angle ACD = \angle CAD$.

Рассмотрим треугольник ACD. Так как в нём два угла равны ($\angle ACD = \angle CAD$), то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой. Напротив угла $\angle CAD$ лежит сторона CD, а напротив угла $\angle ACD$ лежит сторона AD. Следовательно, $CD = AD$.

Так как $AD = 50$ см, то боковая сторона $CD = 50$ см. Поскольку трапеция равнобокая, то и вторая боковая сторона $AB = 50$ см.

Для нахождения площади трапеции необходимо знать её высоту. Проведём высоту CH из вершины C на основание AD. В равнобокой трапеции отрезок HD, который высота отсекает от большего основания, можно найти по формуле: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{50 - 22}{2} = \frac{28}{2} = 14$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Мы знаем гипотенузу $CD = 50$ см и катет $HD = 14$ см. Найдём второй катет CH, который является высотой трапеции ($h$), по теореме Пифагора: $h^2 = CD^2 - HD^2$ $h^2 = 50^2 - 14^2 = 2500 - 196 = 2304$ $h = \sqrt{2304} = 48$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции по формуле: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$. Подставим известные значения: $S = \frac{50 + 22}{2} \cdot 48 = \frac{72}{2} \cdot 48 = 36 \cdot 48 = 1728$ $см^2$.

Ответ: 1728 $см^2$.

272. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 10 см, а разность боковых сторон — 2 см. Найдите площадь трапеции, если её большая диагональ равна 30 см.

272. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 10 см, а разность боковых сторон — 2 см. Найдите площадь трапеции, если её большая диагональ равна 30 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC — основания ($AD > BC$), а AB — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (высота). CD — вторая, наклонная боковая сторона.

Введем следующие обозначения:

• $a = AD$ — большее основание
• $b = BC$ — меньшее основание
• $h = AB$ — высота
• $c = CD$ — наклонная боковая сторона

Согласно условию задачи:

• Разность оснований: $a - b = 10$ см
• Разность боковых сторон: $c - h = 2$ см, откуда $c = h + 2$
• Большая диагональ $d_1 = BD = 30$ см

Решение:

1. Проведем высоту CE из вершины C к основанию AD. Получим прямоугольник ABCE и прямоугольный треугольник CED.
В прямоугольнике ABCE стороны $AB = CE = h$ и $BC = AE = b$.
Катет ED треугольника CED равен разности оснований: $ED = AD - AE = a - b = 10$ см.
Гипотенуза треугольника CED - это сторона $CD = c = h + 2$ см.

2. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику CED ($CE^2 + ED^2 = CD^2$):
$h^2 + 10^2 = (h + 2)^2$
$h^2 + 100 = h^2 + 4h + 4$
$100 - 4 = 4h$
$96 = 4h$
$h = 24$ см.
Таким образом, высота трапеции $AB = 24$ см.

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Его катеты — это высота $AB = h = 24$ см и большее основание $AD = a$. Гипотенуза — это большая диагональ $BD = 30$ см.
Применим теорему Пифагора к треугольнику ABD ($AB^2 + AD^2 = BD^2$):
$24^2 + a^2 = 30^2$
$576 + a^2 = 900$
$a^2 = 900 - 576$
$a^2 = 324$
$a = \sqrt{324}$
$a = 18$ см.
Большее основание $AD = 18$ см.

4. Найдем меньшее основание $b$, используя известную разность оснований:
$b = a - 10 = 18 - 10 = 8$ см.
Меньшее основание $BC = 8$ см.

5. Теперь, зная оба основания и высоту, можем найти площадь трапеции по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.
$S = \frac{18 + 8}{2} \cdot 24$
$S = \frac{26}{2} \cdot 24$
$S = 13 \cdot 24$
$S = 312$ см².

Ответ: 312 см².