Номер 266, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

266. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 6 см и 12 см, а боковая сторона равна 8 см и образует с меньшим основанием угол $120^\circ$.

266. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 6 см и 12 см, а боковая сторона равна 8 см и образует с меньшим основанием угол $120^\circ$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

По условию задачи, основания трапеции равны $a = 6$ см и $b = 12$ см. Боковая сторона равна 8 см. Нам необходимо найти высоту $h$.

Решение:

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания. $BC = 6$ см (меньшее основание), $AD = 12$ см (большее основание). Пусть боковая сторона $AB = 8$ см.

Угол между боковой стороной $AB$ и меньшим основанием $BC$ равен $\angle ABC = 120^{\circ}$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^{\circ}$.

Следовательно, угол при большем основании $\angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $ABH$, в котором гипотенуза $AB = 8$ см, а угол $\angle BAH$ (он же $\angle BAD$) равен $60^{\circ}$. Высота трапеции $h$ будет равна катету $BH$.

Найдем катет $BH$ через синус известного угла:

$h = BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = 8 \cdot \sin(60^{\circ})$.

Зная, что значение $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, когда известна высота, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{6 + 12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{18}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 9 \cdot 4\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см².

Ответ: $36\sqrt{3}$ см².