Номер 259, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

259. Площадь треугольника $ABC$ равна $28 \text{ см}^2$. Точка $D$ делит сторону $BC$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $B$. Найдите площади треугольников $ABD$ и $ACD$.

259. Площадь треугольника $ABC$ равна $28 \, \text{см}^2$. Точка $D$ делит сторону $BC$ в отношении $3:1$, считая от точки $B$. Найдите площади треугольников $ABD$ и $ACD$.

Пусть $S_{ABC}$, $S_{ABD}$ и $S_{ACD}$ — площади треугольников $ABC$, $ABD$ и $ACD$ соответственно. По условию, площадь треугольника $ABC$ равна 28 см², то есть $S_{ABC} = 28$ см².

Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общую вершину $A$, а их основания $BD$ и $DC$ лежат на одной прямой $BC$. Следовательно, высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, является общей для обоих треугольников. Обозначим эту высоту как $h$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. Таким образом, площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны: $$ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h $$ $$ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h $$

Так как высота $h$ у треугольников общая, отношение их площадей равно отношению длин их оснований: $$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot DC \cdot h} = \frac{BD}{DC} $$

По условию задачи точка $D$ делит сторону $BC$ в отношении $3:1$, считая от точки $B$. Это означает, что $BD:DC = 3:1$, или $\frac{BD}{DC} = 3$. Следовательно, отношение площадей также равно 3: $$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = 3 \implies S_{ABD} = 3 \cdot S_{ACD} $$

Площадь всего треугольника $ABC$ является суммой площадей треугольников $ABD$ и $ACD$: $$ S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD} $$

Подставим известные соотношения и значения в эту формулу: $$ 28 = 3 \cdot S_{ACD} + S_{ACD} $$ $$ 28 = 4 \cdot S_{ACD} $$ $$ S_{ACD} = \frac{28}{4} = 7 \text{ см}^2 $$

Теперь, зная площадь $S_{ACD}$, мы можем найти площадь $S_{ABD}$: $$ S_{ABD} = 3 \cdot S_{ACD} = 3 \cdot 7 = 21 \text{ см}^2 $$

Площадь треугольника ABD
Площадь треугольника $ABD$ равна 21 см².
Ответ: 21 см².

Площадь треугольника ACD
Площадь треугольника $ACD$ равна 7 см².
Ответ: 7 см².