Номер 255, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Площадь треугольника. Вариант 1. Упражнения - номер 255, страница 34.

Условие 2017.

255. Найдите площадь ромба, если его диагонали относятся как 3 : 4, а высота равна 12 см.

Условие 2021.

255. Найдите площадь ромба, если его диагонали относятся как $3 : 4$, а высота равна 12 см.

Решение 2021.

Обозначим диагонали ромба как $d_1$ и $d_2$, сторону как $a$, высоту как $h$ и площадь как $S$.

Площадь ромба можно найти двумя способами:
1. Через произведение стороны на высоту: $S = a \cdot h$.
2. Через половину произведения диагоналей: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.

Из условия задачи известно, что диагонали относятся как $3:4$, а высота $h = 12$ см. Пусть $d_1 = 3x$ и $d_2 = 4x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда площадь, выраженная через диагонали, равна: $S = \frac{1}{2}(3x)(4x) = \frac{12x^2}{2} = 6x^2$.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Сторона ромба $a$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$). По теореме Пифагора найдем сторону $a$: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = (\frac{3x}{2})^2 + (\frac{4x}{2})^2 = \frac{9x^2}{4} + \frac{16x^2}{4} = \frac{25x^2}{4}$ $a = \sqrt{\frac{25x^2}{4}} = \frac{5x}{2}$ (поскольку длина стороны должна быть положительной).

Теперь выразим площадь через сторону и высоту: $S = a \cdot h = \frac{5x}{2} \cdot 12 = 30x$.

Мы получили два разных выражения для одной и той же площади. Приравняем их, чтобы найти значение $x$: $6x^2 = 30x$ Поскольку $x$ не может быть равен нулю (иначе диагонали были бы нулевой длины), мы можем разделить обе части уравнения на $6x$: $x = \frac{30}{6}$ $x = 5$.

Теперь, зная $x$, мы можем вычислить площадь. Подставим значение $x=5$ в любое из выражений для площади, например, в $S = 30x$: $S = 30 \cdot 5 = 150$ см$^2$.

Ответ: 150 см$^2$.