Номер 250, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

250. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 12 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его боковой стороны к основанию равно $5 : 6$.

250. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 12 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его боковой стороны к основанию равно $5 : 6$.

Пусть дан равнобедренный треугольник, обозначим его боковую сторону как $b$, основание как $a$, и высоту, проведенную к основанию, как $h$.

По условию задачи, высота $h = 12$ см, а отношение боковой стороны к основанию составляет $b : a = 5 : 6$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длина боковой стороны $b = 5x$, а длина основания $a = 6x$.

Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является также и медианой. Это означает, что она делит основание на два равных отрезка. Таким образом, высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник.

Катетами этого прямоугольного треугольника будут высота $h$ и половина основания $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — боковая сторона $b$.

Найдем половину основания: $\frac{a}{2} = \frac{6x}{2} = 3x$.

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику: $b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$.

Подставим известные значения и выражения через $x$: $(5x)^2 = 12^2 + (3x)^2$ $25x^2 = 144 + 9x^2$

Решим полученное уравнение: $25x^2 - 9x^2 = 144$ $16x^2 = 144$ $x^2 = \frac{144}{16}$ $x^2 = 9$ $x = 3$ (поскольку длина стороны должна быть положительной).

Теперь, зная $x$, найдем длину основания $a$: $a = 6x = 6 \times 3 = 18$ см.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \times a \times h$

Подставим значения основания и высоты: $S = \frac{1}{2} \times 18 \times 12 = 9 \times 12 = 108$ см$^2$.

Ответ: 108 см$^2$.