Номер 247, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

247. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB : BC = 2 : 3$. Найдите отношение высот треугольника, проведённых из вершин $C$ и $A$.

247. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB : BC = 2 : 3$. Найдите отношение высот треугольника, проведённых из вершин $C$ и $A$.

Обозначим высоту треугольника, проведённую из вершины $C$ к стороне $AB$, как $h_C$, а высоту, проведённую из вершины $A$ к стороне $BC$, как $h_A$.

Площадь треугольника $S$ может быть вычислена по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — сторона треугольника, а $h_a$ — высота, проведённая к этой стороне.

Запишем формулу площади для треугольника $ABC$ двумя способами, используя указанные высоты:

1. Через основание $AB$ и высоту $h_C$: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C$.

2. Через основание $BC$ и высоту $h_A$: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A$.

Так как оба выражения описывают площадь одного и того же треугольника, мы можем их приравнять:

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A$

Умножим обе части равенства на 2, чтобы избавиться от дробей:

$AB \cdot h_C = BC \cdot h_A$

Нам необходимо найти отношение высот, проведённых из вершин $C$ и $A$, то есть $h_C : h_A$. Выразим это отношение из полученного уравнения:

$\frac{h_C}{h_A} = \frac{BC}{AB}$

Из условия задачи известно, что $AB : BC = 2 : 3$, или $\frac{AB}{BC} = \frac{2}{3}$.

Тогда обратное отношение будет равно $\frac{BC}{AB} = \frac{3}{2}$.

Следовательно, искомое отношение высот:

$\frac{h_C}{h_A} = \frac{3}{2}$

Таким образом, отношение высоты, проведённой из вершины $C$, к высоте, проведённой из вершины $A$, равно $3:2$.

Ответ: $3:2$.