Номер 245, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Площадь треугольника. Вариант 1. Упражнения - номер 245, страница 33.

Условие 2017.

245. Сторона квадрата ABCD равна 14 см. На его сторонах BC и CD отмечены точки E и F так, что $BE = 4$ см, $DF = 9$ см (рис. 38). Найдите площадь треугольника AEF.

Рис. 38

Условие 2021.

245. Сторона квадрата $ABCD$ равна 14 см. На его сторонах $BC$ и $CD$ отмечены точки $E$ и $F$ так, что $BE = 4$ см, $DF = 9$ см (рис. 38). Найдите площадь треугольника $AEF$.

Рис. 38

Решение 2021.

Для того чтобы найти площадь треугольника $AEF$, мы можем вычислить площадь всего квадрата $ABCD$ и вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников, которые его окружают: $\triangle ABE$, $\triangle ECF$ и $\triangle ADF$.

1. Найдем площадь квадрата $ABCD$.
Сторона квадрата по условию равна 14 см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны.
$S_{ABCD} = 14^2 = 196$ см².

2. Найдем длины сторон, необходимые для вычисления площадей треугольников.
Стороны квадрата: $AB = BC = CD = DA = 14$ см.
По условию, $BE = 4$ см и $DF = 9$ см.
Найдем длины отрезков $EC$ и $CF$:
$EC = BC - BE = 14 - 4 = 10$ см.
$CF = CD - DF = 14 - 9 = 5$ см.

3. Вычислим площади трех прямоугольных треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Для $\triangle ABE$ катеты $AB=14$ см и $BE=4$ см:
$S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 4 = 28$ см².
Для $\triangle ADF$ катеты $AD=14$ см и $DF=9$ см:
$S_{ADF} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DF = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 9 = 63$ см².
Для $\triangle ECF$ катеты $EC=10$ см и $CF=5$ см:
$S_{ECF} = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot CF = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5 = 25$ см².

4. Теперь найдем площадь треугольника $AEF$, вычтя из площади квадрата сумму площадей трех треугольников:
$S_{AEF} = S_{ABCD} - S_{ABE} - S_{ADF} - S_{ECF}$
$S_{AEF} = 196 - 28 - 63 - 25 = 196 - (28 + 63 + 25) = 196 - 116 = 80$ см².

Ответ: 80 см².