Номер 238, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите площадь ромба.

238. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит её на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите площадь ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, следовательно, треугольник $AOD$ является прямоугольным, где $\angle AOD = 90^\circ$.

Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AD$. По условию задачи, этот перпендикуляр делит сторону на отрезки $AH = 4$ см и $HD = 9$ см.

Длина стороны ромба $a$ равна сумме длин этих отрезков:$a = AD = AH + HD = 4 + 9 = 13$ см.

В прямоугольном треугольнике $AOD$ отрезок $OH$ является высотой, проведённой к гипотенузе $AD$. По свойству высоты прямоугольного треугольника, её квадрат равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу:$OH^2 = AH \cdot HD$

Подставив известные значения, найдём длину высоты $OH$:$OH^2 = 4 \cdot 9 = 36$$OH = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $AOD$, используя формулу площади треугольника (половина произведения основания на высоту):$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot OH$$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39$ см².

Диагонали ромба делят его на четыре равных по площади прямоугольных треугольника. Таким образом, площадь всего ромба $S_{ABCD}$ в четыре раза больше площади треугольника $AOD$:$S_{ABCD} = 4 \cdot S_{\triangle AOD} = 4 \cdot 39 = 156$ см².

Ответ: 156 см².