Номер 234, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Стороны параллелограмма равны $6 \text{ см}$ и $12 \text{ см}$, а одна из его высот — $4 \text{ см}$. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

234. Стороны параллелограмма равны 6 см и 12 см, а одна из его высот — 4 см. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 6$ см и $b = 12$ см. Обозначим высоты, проведенные к этим сторонам, как $h_a$ и $h_b$ соответственно.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле $S = \text{основание} \times \text{высота}$. Так как в качестве основания можно выбрать любую из двух смежных сторон, площадь можно выразить двумя способами:

$S = a \cdot h_a$

$S = b \cdot h_b$

Приравнивая эти два выражения, получаем соотношение между сторонами и высотами: $a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

В условии задачи сказано, что одна из высот равна 4 см, но не уточнено, к какой именно стороне она проведена. Поэтому необходимо рассмотреть два возможных случая. Также следует помнить, что высота параллелограмма не может быть длиннее его смежной стороны.

Предположим, что высота $h_b = 4$ см проведена к большей стороне $b = 12$ см.

Проверим, возможен ли такой параллелограмм. Высота, проведенная к одной стороне, должна быть меньше или равна смежной стороне. В нашем случае $h_b \le a$.

$4 \text{ см} \le 6 \text{ см}$. Неравенство верно, следовательно, такой случай возможен.

Теперь найдем вторую высоту $h_a$ из равенства площадей:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

$6 \cdot h_a = 12 \cdot 4$

$6 \cdot h_a = 48$

$h_a = \frac{48}{6} = 8$ см.

Таким образом, если высота к стороне 12 см равна 4 см, то высота к стороне 6 см равна 8 см.

Ответ: 8 см.

Предположим, что высота $h_a = 4$ см проведена к меньшей стороне $a = 6$ см.

Проверим, возможен ли такой параллелограмм. Высота $h_a$ должна быть меньше или равна смежной стороне $b$. В нашем случае $h_a \le b$.

$4 \text{ см} \le 12 \text{ см}$. Неравенство верно, значит, этот случай также возможен.

Найдем вторую высоту $h_b$:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

$6 \cdot 4 = 12 \cdot h_b$

$24 = 12 \cdot h_b$

$h_b = \frac{24}{12} = 2$ см.

Таким образом, если высота к стороне 6 см равна 4 см, то высота к стороне 12 см равна 2 см.

Ответ: 2 см.

Мы рассмотрели два возможных случая, и оба оказались геометрически осуществимы. Это означает, что условию задачи удовлетворяют два разных параллелограмма. Следовательно, задача имеет два решения. Вторая высота может быть равна либо 8 см, либо 2 см.

Ответ: Задача имеет два решения.