Номер 230, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Стороны двух данных квадратов равны $a$ и $b$ ($a > b$). Постройте квадрат, площадь которого равна $9a^2 - b^2$.

230. Стороны двух данных квадратов равны $a$ и $b$ $(a > b)$. Постройте квадрат, площадь которого равна $9a^2 - b^2$.

Пусть $x$ — сторона искомого квадрата. Тогда его площадь $S$ равна $x^2$. По условию задачи, площадь должна быть равна $9a^2 - b^2$. Таким образом, мы получаем уравнение: $x^2 = 9a^2 - b^2$.

Для построения квадрата нам необходимо сначала построить его сторону, то есть отрезок длиной $x = \sqrt{9a^2 - b^2}$.

Рассмотрим выражение для площади. Его можно представить в виде разности квадратов: $x^2 = (3a)^2 - b^2$. Это соотношение соответствует теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, в котором $x$ и $b$ являются катетами, а $3a$ — гипотенузой, так как $x^2 + b^2 = (3a)^2$.

Следовательно, задача сводится к построению с помощью циркуля и линейки отрезка $x$, который является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной $3a$, и одним из катетов, равным $b$. Такое построение возможно, поскольку из условия $a > b$ следует, что $3a > b$, то есть гипотенуза всегда будет длиннее катета.

Алгоритм построения:

1. Построим отрезок длиной $3a$. На произвольной прямой отложим три раза подряд отрезок $a$ с помощью циркуля.

2. Построим прямой угол. Для этого проведем прямую $l$ и в произвольной точке $K$ на ней восстановим перпендикуляр.

3. На одной из сторон прямого угла от вершины $K$ отложим отрезок $KL$, равный катету $b$.

4. Из точки $L$ (конец отрезка-катета) проведем дугу окружности радиусом, равным гипотенузе $3a$.

5. Точка пересечения этой дуги со второй стороной прямого угла (прямой $l$), назовем ее $P$, будет третьей вершиной прямоугольного треугольника $KLP$. Отрезок $KP$ является вторым катетом, его длина и есть искомая сторона квадрата $x$.

6. Построим квадрат на стороне $KP$. Так как у нас уже есть прямой угол $LKP$, на луче $KL$ отложим отрезок $KM$, равный $KP$. Затем из точек $P$ и $M$ проведем две дуги радиусом $KP$. Точка их пересечения $N$ будет четвертой вершиной искомого квадрата $KPNM$.

Докажем, что построенный квадрат — искомый. По построению, $\triangle KLP$ — прямоугольный, $LP = 3a$ и $KL = b$. По теореме Пифагора, $KP^2 = LP^2 - KL^2 = (3a)^2 - b^2 = 9a^2 - b^2$. Площадь построенного на стороне $KP$ квадрата равна $KP^2$, то есть $9a^2 - b^2$, что и требовалось.

Ответ: Искомый квадрат $KPNM$ построен согласно описанным выше шагам. Его сторона является катетом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна $3a$, а другой катет равен $b$.