Номер 237, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. Высота, проведённая из вершины тупого угла ромба, делит сторону на отрезки длиной 7 см и 8 см, считая от вершины тупого угла. Найдите площадь ромба.

237. Высота, проведённая из вершины тупого угла ромба, делит сторону на отрезки длиной 7 см и 8 см, считая от вершины тупого угла. Найдите площадь ромба.

Пусть дан ромб ABCD, в котором углы B и D — тупые, а углы A и C — острые. Проведём высоту BH из вершины тупого угла B на сторону AD. Основание высоты, точка H, лежит на стороне AD.

Согласно условию, высота BH делит сторону AD на два отрезка длиной 7 см и 8 см. Следовательно, сторона ромба a, равная AD, является суммой длин этих отрезков:

$a = AD = 7 + 8 = 15$ см.

В условии сказано, что отсчёт отрезков ведётся от вершины тупого угла. На стороне AD вершина D соответствует тупому углу ромба, так как угол D равен углу B, который является тупым. Значит, отрезок, прилежащий к вершине D, — это HD. Примем, что его длина равна 7 см, а длина второго отрезка, AH, равна 8 см. То есть, $HD = 7$ см и $AH = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём гипотенуза AB равна стороне ромба ($AB = a = 15$ см), один из катетов — это отрезок $AH = 8$ см, а второй катет BH является высотой ромба h.

По теореме Пифагора найдём высоту BH:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Отсюда выразим $BH^2$:

$h^2 = BH^2 = AB^2 - AH^2 = 15^2 - 8^2$

$h^2 = 225 - 64 = 161$

$h = \sqrt{161}$ см.

Площадь ромба S вычисляется по формуле произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

$S = a \cdot h = AD \cdot BH$

$S = 15 \cdot \sqrt{161}$ см².

Ответ: $15\sqrt{161}$ см².