Номер 242, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

242. Какие из треугольников, изображённых на рисунке 37, равновелики?

Рис. 37

242. Какие из треугольников, изображённых на рисунке 37, равновелики?

Рис. 37

Равновеликими называются фигуры, имеющие одинаковую площадь. Чтобы определить, какие из представленных треугольников равновелики, необходимо вычислить площадь каждого из них. За единицу длины примем сторону одной клетки на рисунке.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} a h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию.

а
Основание треугольника равно 4 единицам, а высота, проведённая к этому основанию, равна 3 единицам.
$S_а = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

б
Основание треугольника равно 4 единицам, высота, проведённая к этому основанию, — 3 единицам.
$S_б = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

в
Основание треугольника равно 4 единицам, высота, проведённая к этому основанию, — 3 единицам.
$S_в = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

г
Данный треугольник является прямоугольным. Его катеты равны 6 и 2 единицам. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
$S_г = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

д
Основание треугольника равно 6 единицам, а высота, проведённая к нему, — 2 единицам.
$S_д = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

е
Площадь этого треугольника удобно найти, достроив его до прямоугольника. Прямоугольник, описанный вокруг треугольника, будет иметь размеры 5 на 2 единицы, а его площадь составит $5 \cdot 2 = 10$ кв. ед. Площадь искомого треугольника равна площади прямоугольника за вычетом площадей трёх прямоугольных треугольников, которые его дополняют.
Площади этих треугольников: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1.5$ кв. ед., $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ кв. ед., $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = 2.5$ кв. ед.
Площадь треугольника 'е' равна: $S_е = 10 - (1.5 + 2 + 2.5) = 10 - 6 = 4$ (кв. ед.).
Ответ: 4 кв. ед.

ж
Площадь этого треугольника также найдём методом достроения до прямоугольника. Описанный прямоугольник имеет размеры 6 на 3 единицы, его площадь равна $6 \cdot 3 = 18$ кв. ед.
Площади трёх дополнительных прямоугольных треугольников: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1.5$ кв. ед., $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5$ кв. ед., $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ кв. ед.
Площадь треугольника 'ж' равна: $S_ж = 18 - (1.5 + 4.5 + 6) = 18 - 12 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

Сравнив вычисленные площади, можно сделать вывод, что треугольники а, б, в, г, д и ж имеют одинаковую площадь, равную 6 кв. ед., в то время как площадь треугольника е равна 4 кв. ед. Таким образом, равновеликими являются треугольники а, б, в, г, д, ж.