Номер 229, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. Биcсектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки длиной 2 см и 4 см. Найдите площадь прямоугольника.

229. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки длиной 2 см и 4 см. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами $AB = a$ и $AD = b$. Проведем диагональ $BD$ и биссектрису угла $A$, которая пересекает диагональ $BD$ в точке $K$. Треугольник $ABD$ является прямоугольным, так как все углы прямоугольника равны $90^\circ$.

Согласно условию, биссектриса $AK$ делит диагональ $BD$ на отрезки длиной 2 см и 4 см. Пусть $BK = 2$ см и $KD = 4$ см (или наоборот, что не повлияет на итоговую площадь). Длина всей диагонали $BD$ равна сумме длин ее отрезков:$BD = BK + KD = 2 + 4 = 6$ см.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Для прямоугольного треугольника $ABD$ и биссектрисы $AK$ это свойство записывается так:$$ \frac{AB}{AD} = \frac{BK}{KD} $$Подставим известные значения в это соотношение:$$ \frac{a}{b} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \frac{a}{b} = \frac{4}{2} = 2 $$

Рассмотрим один из случаев, например, $\frac{a}{b} = 2$, откуда получаем $a = 2b$.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника $ABD$:$$ AB^2 + AD^2 = BD^2 $$$$ a^2 + b^2 = 6^2 $$$$ a^2 + b^2 = 36 $$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$$ \begin{cases} a = 2b \\ a^2 + b^2 = 36 \end{cases} $$Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:$$ (2b)^2 + b^2 = 36 $$$$ 4b^2 + b^2 = 36 $$$$ 5b^2 = 36 $$$$ b^2 = \frac{36}{5} $$

Зная $b^2$, найдем $a^2$:$$ a^2 = (2b)^2 = 4b^2 = 4 \cdot \frac{36}{5} = \frac{144}{5} $$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Для удобства сначала найдем квадрат площади:$$ S^2 = a^2 \cdot b^2 = \frac{144}{5} \cdot \frac{36}{5} = \frac{5184}{25} $$Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти площадь:$$ S = \sqrt{\frac{5184}{25}} = \frac{72}{5} = 14.4 \text{ см}^2 $$

Ответ: $14.4 \text{ см}^2$.