Номер 228, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 5 см и 6 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

228. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 5 см и 6 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть дан прямоугольник, и из одного из его углов проведена биссектриса. Угол прямоугольника равен $90^\circ$, поэтому биссектриса делит его на два угла по $45^\circ$.

Биссектриса, проведенная из вершины, отсекает от прямоугольника прямоугольный треугольник. Поскольку один из острых углов этого треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что отсеченный треугольник является равнобедренным. Катеты этого треугольника равны, а они, в свою очередь, являются стороной прямоугольника и частью другой стороны, на которую ее делит биссектриса.

Таким образом, одна из сторон прямоугольника равна одному из отрезков, на которые биссектриса делит смежную с ней сторону. Вторая сторона прямоугольника равна сумме длин этих двух отрезков. По условию, длины отрезков равны 5 см и 6 см.

Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Одна сторона прямоугольника равна 5 см.

В этом случае эта сторона является меньшей стороной. Пусть ее длина $a = 5$ см. Тогда биссектриса делит большую сторону на отрезки 5 см и 6 см. Длина большей стороны $b$ будет равна сумме этих отрезков:

$b = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} = 11 \text{ см}$

Площадь прямоугольника со сторонами 5 см и 11 см равна:

$S_1 = a \cdot b = 5 \cdot 11 = 55 \text{ см}^2$

Случай 2: Одна сторона прямоугольника равна 6 см.

В этом случае эта сторона также является меньшей стороной. Пусть ее длина $a = 6$ см. Тогда биссектриса делит большую сторону на отрезки 6 см и 5 см. Длина большей стороны $b$ будет равна сумме этих отрезков:

$b = 6 \text{ см} + 5 \text{ см} = 11 \text{ см}$

Площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 11 см равна:

$S_2 = a \cdot b = 6 \cdot 11 = 66 \text{ см}^2$

Ответ: 55 см² или 66 см².

Как было показано при нахождении площади, существуют два возможных набора размеров для прямоугольника, которые удовлетворяют условиям задачи: 5 см × 11 см и 6 см × 11 см. Каждый из этих вариантов приводит к своему значению площади. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 2.