Номер 227, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) одну из его сторон уменьшить в 5 раз;

2) одну сторону увеличить в $\sqrt{20}$ раз, а другую — в $\sqrt{5}$ раз;

3) одну сторону увеличить в 8 раз, а другую уменьшить в 2 раза?

227. Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) одну из его сторон уменьшить в 5 раз;

2) одну сторону увеличить в $\sqrt{20}$ раз, а другую — в $\sqrt{5}$ раз;

3) одну сторону увеличить в 8 раз, а другую уменьшить в 2 раза?

Пусть $a$ и $b$ — первоначальные длины сторон прямоугольника. Его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

1)
Если одну из сторон, например, $a$, уменьшить в 5 раз, то ее новая длина станет $a_1 = \frac{a}{5}$. Длина второй стороны $b$ не изменится. Новая площадь $S_1$ будет равна произведению новых сторон:
$S_1 = a_1 \cdot b = \frac{a}{5} \cdot b = \frac{1}{5} (a \cdot b) = \frac{1}{5} S$.
Таким образом, новая площадь в 5 раз меньше первоначальной.
Ответ: площадь уменьшится в 5 раз.

2)
Если одну сторону увеличить в $\sqrt{20}$ раз, а другую — в $\sqrt{5}$ раз, то новые длины сторон будут $a_2 = a \cdot \sqrt{20}$ и $b_2 = b \cdot \sqrt{5}$. Новая площадь $S_2$ будет равна:
$S_2 = a_2 \cdot b_2 = (a \cdot \sqrt{20}) \cdot (b \cdot \sqrt{5}) = (a \cdot b) \cdot (\sqrt{20} \cdot \sqrt{5})$.
Так как $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10$, то:
$S_2 = (a \cdot b) \cdot 10 = 10S$.
Таким образом, новая площадь в 10 раз больше первоначальной.
Ответ: площадь увеличится в 10 раз.

3)
Если одну сторону увеличить в 8 раз, а другую уменьшить в 2 раза, то новые длины сторон будут $a_3 = a \cdot 8$ и $b_3 = \frac{b}{2}$. Новая площадь $S_3$ будет равна:
$S_3 = a_3 \cdot b_3 = (a \cdot 8) \cdot \left(\frac{b}{2}\right) = (a \cdot b) \cdot \frac{8}{2} = (a \cdot b) \cdot 4 = 4S$.
Таким образом, новая площадь в 4 раза больше первоначальной.
Ответ: площадь увеличится в 4 раза.