Страница 31 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Стороны двух данных квадратов равны $a$ и $b$ ($a > b$). Постройте квадрат, площадь которого равна $9a^2 - b^2$.

230. Стороны двух данных квадратов равны $a$ и $b$ $(a > b)$. Постройте квадрат, площадь которого равна $9a^2 - b^2$.

Пусть $x$ — сторона искомого квадрата. Тогда его площадь $S$ равна $x^2$. По условию задачи, площадь должна быть равна $9a^2 - b^2$. Таким образом, мы получаем уравнение: $x^2 = 9a^2 - b^2$.

Для построения квадрата нам необходимо сначала построить его сторону, то есть отрезок длиной $x = \sqrt{9a^2 - b^2}$.

Рассмотрим выражение для площади. Его можно представить в виде разности квадратов: $x^2 = (3a)^2 - b^2$. Это соотношение соответствует теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, в котором $x$ и $b$ являются катетами, а $3a$ — гипотенузой, так как $x^2 + b^2 = (3a)^2$.

Следовательно, задача сводится к построению с помощью циркуля и линейки отрезка $x$, который является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной $3a$, и одним из катетов, равным $b$. Такое построение возможно, поскольку из условия $a > b$ следует, что $3a > b$, то есть гипотенуза всегда будет длиннее катета.

Алгоритм построения:

1. Построим отрезок длиной $3a$. На произвольной прямой отложим три раза подряд отрезок $a$ с помощью циркуля.

2. Построим прямой угол. Для этого проведем прямую $l$ и в произвольной точке $K$ на ней восстановим перпендикуляр.

3. На одной из сторон прямого угла от вершины $K$ отложим отрезок $KL$, равный катету $b$.

4. Из точки $L$ (конец отрезка-катета) проведем дугу окружности радиусом, равным гипотенузе $3a$.

5. Точка пересечения этой дуги со второй стороной прямого угла (прямой $l$), назовем ее $P$, будет третьей вершиной прямоугольного треугольника $KLP$. Отрезок $KP$ является вторым катетом, его длина и есть искомая сторона квадрата $x$.

6. Построим квадрат на стороне $KP$. Так как у нас уже есть прямой угол $LKP$, на луче $KL$ отложим отрезок $KM$, равный $KP$. Затем из точек $P$ и $M$ проведем две дуги радиусом $KP$. Точка их пересечения $N$ будет четвертой вершиной искомого квадрата $KPNM$.

Докажем, что построенный квадрат — искомый. По построению, $\triangle KLP$ — прямоугольный, $LP = 3a$ и $KL = b$. По теореме Пифагора, $KP^2 = LP^2 - KL^2 = (3a)^2 - b^2 = 9a^2 - b^2$. Площадь построенного на стороне $KP$ квадрата равна $KP^2$, то есть $9a^2 - b^2$, что и требовалось.

Ответ: Искомый квадрат $KPNM$ построен согласно описанным выше шагам. Его сторона является катетом прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна $3a$, а другой катет равен $b$.

231. Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 18 см, а высота, проведённая к ней, — 7 см.

231. Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 18 см, а высота, проведённая к ней, – 7 см.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне: $S = a \cdot h_a$, где $a$ – сторона, а $h_a$ – высота, опущенная на эту сторону.

Согласно условию задачи, нам даны:

Сторона параллелограмма $a = 18$ см.

Высота, проведённая к этой стороне $h_a = 7$ см.

Подставим известные значения в формулу площади:

$S = 18 \text{ см} \cdot 7 \text{ см}$

Выполним умножение:

$S = 126 \text{ см}^2$

Таким образом, площадь параллелограмма составляет 126 квадратных сантиметров.

Ответ: $126 \text{ см}^2$.

232. Какие из параллелограммов, изображённых на рисунке 36, равновелики?

Рис. 36

232. Какие из параллелограммов, изображённых на рисунке 36, равновелики?

Рис. 36

Равновеликие фигуры — это фигуры, имеющие равные площади. Чтобы определить, какие из параллелограммов равновелики, найдём площадь каждого из них. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию. Примем сторону одной клетки за единицу длины.

а
Основание параллелограмма равно 2 единицам, а высота — 3 единицам.
$S_а = 2 \cdot 3 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

б
Данная фигура — прямоугольник. Его площадь равна произведению смежных сторон. Основание равно 3 единицам, высота — 2 единицам.
$S_б = 3 \cdot 2 = 6$ (кв. ед.).
Ответ: 6 кв. ед.

в
Основание параллелограмма равно 4 единицам, а высота — 1 единице.
$S_в = 4 \cdot 1 = 4$ (кв. ед.).
Ответ: 4 кв. ед.

г
Основание параллелограмма равно 2 единицам, а высота — 2 единицам.
$S_г = 2 \cdot 2 = 4$ (кв. ед.).
Ответ: 4 кв. ед.

д
Для вычисления площади этого параллелограмма воспользуемся методом вычитания. Опишем вокруг него прямоугольник со сторонами 5 ед. и 2 ед. Его площадь равна $5 \cdot 2 = 10$ кв. ед. Из площади прямоугольника вычтем площади четырёх угловых прямоугольных треугольников:
$S_д = 10 - (\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1) = 10 - (2 + 0,5 + 2 + 0,5) = 10 - 5 = 5$ (кв. ед.).
Ответ: 5 кв. ед.

е
Основание параллелограмма равно 3 единицам, а высота — 1 единице.
$S_е = 3 \cdot 1 = 3$ (кв. ед.).
Ответ: 3 кв. ед.

ж
Данная фигура — квадрат со стороной 2 единицы. Его площадь равна квадрату стороны.
$S_ж = 2^2 = 4$ (кв. ед.).
Ответ: 4 кв. ед.

Сравнив вычисленные площади, мы находим группы равновеликих параллелограммов. Это фигуры с одинаковыми площадями.

Ответ: Равновеликими являются две группы фигур:
1) параллелограммы а и б (площадь каждой 6 кв. ед.);
2) параллелограммы в, г и ж (площадь каждой 4 кв. ед.).

233. Площадь параллелограмма равна $120 \text{ см}^2$, а его стороны — 15 см и 10 см. Найдите высоты параллелограмма.

233. Площадь параллелограмма равна $120 \text{ см}^2$, а его стороны — 15 см и 10 см. Найдите высоты параллелограмма.

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется как произведение его стороны ($a$) на высоту ($h$), проведенную к этой стороне. Формула имеет вид: $S = a \cdot h$.

Поскольку у параллелограмма две смежные стороны имеют разную длину, у него есть две соответствующие им высоты. Найдем каждую из них, используя известные данные: площадь $S = 120$ см² и стороны $a_1 = 15$ см и $a_2 = 10$ см.

Нахождение высоты, проведенной к стороне 15 см

Пусть $a_1 = 15$ см, а $h_1$ — высота, проведенная к этой стороне. Используя формулу площади, получаем:

$S = a_1 \cdot h_1$

Отсюда можем выразить высоту $h_1$:

$h_1 = \frac{S}{a_1}$

Подставим числовые значения:

$h_1 = \frac{120}{15} = 8$ см.

Нахождение высоты, проведенной к стороне 10 см

Пусть $a_2 = 10$ см, а $h_2$ — высота, проведенная к этой стороне. Аналогично, используем формулу площади:

$S = a_2 \cdot h_2$

Выразим высоту $h_2$:

$h_2 = \frac{S}{a_2}$

Подставим числовые значения:

$h_2 = \frac{120}{10} = 12$ см.

Ответ: высоты параллелограмма равны 8 см и 12 см.

234. Стороны параллелограмма равны $6 \text{ см}$ и $12 \text{ см}$, а одна из его высот — $4 \text{ см}$. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

234. Стороны параллелограмма равны 6 см и 12 см, а одна из его высот — 4 см. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 6$ см и $b = 12$ см. Обозначим высоты, проведенные к этим сторонам, как $h_a$ и $h_b$ соответственно.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле $S = \text{основание} \times \text{высота}$. Так как в качестве основания можно выбрать любую из двух смежных сторон, площадь можно выразить двумя способами:

$S = a \cdot h_a$

$S = b \cdot h_b$

Приравнивая эти два выражения, получаем соотношение между сторонами и высотами: $a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

В условии задачи сказано, что одна из высот равна 4 см, но не уточнено, к какой именно стороне она проведена. Поэтому необходимо рассмотреть два возможных случая. Также следует помнить, что высота параллелограмма не может быть длиннее его смежной стороны.

Предположим, что высота $h_b = 4$ см проведена к большей стороне $b = 12$ см.

Проверим, возможен ли такой параллелограмм. Высота, проведенная к одной стороне, должна быть меньше или равна смежной стороне. В нашем случае $h_b \le a$.

$4 \text{ см} \le 6 \text{ см}$. Неравенство верно, следовательно, такой случай возможен.

Теперь найдем вторую высоту $h_a$ из равенства площадей:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

$6 \cdot h_a = 12 \cdot 4$

$6 \cdot h_a = 48$

$h_a = \frac{48}{6} = 8$ см.

Таким образом, если высота к стороне 12 см равна 4 см, то высота к стороне 6 см равна 8 см.

Ответ: 8 см.

Предположим, что высота $h_a = 4$ см проведена к меньшей стороне $a = 6$ см.

Проверим, возможен ли такой параллелограмм. Высота $h_a$ должна быть меньше или равна смежной стороне $b$. В нашем случае $h_a \le b$.

$4 \text{ см} \le 12 \text{ см}$. Неравенство верно, значит, этот случай также возможен.

Найдем вторую высоту $h_b$:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

$6 \cdot 4 = 12 \cdot h_b$

$24 = 12 \cdot h_b$

$h_b = \frac{24}{12} = 2$ см.

Таким образом, если высота к стороне 6 см равна 4 см, то высота к стороне 12 см равна 2 см.

Ответ: 2 см.

Мы рассмотрели два возможных случая, и оба оказались геометрически осуществимы. Это означает, что условию задачи удовлетворяют два разных параллелограмма. Следовательно, задача имеет два решения. Вторая высота может быть равна либо 8 см, либо 2 см.

Ответ: Задача имеет два решения.

235. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 9 см и 15 см, а одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

235. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 9 см и 15 см, а одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

Пусть дан параллелограмм со сторонами $a = 9$ см и $b = 15$ см. Обозначим его $ABCD$, где меньшая сторона $AB = 9$ см, а большая сторона $AD = 15$ см.

По условию задачи одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне. Пусть диагональ $BD$ будет перпендикулярна стороне $AB$. Это означает, что угол $\angle ABD$ является прямым, то есть $\angle ABD = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABD$ — прямоугольный.

В этом прямоугольном треугольнике $ABD$ сторона $AB$ является катетом, а сторона $AD$ — гипотенузой. Найдем длину второго катета $BD$, который является диагональю параллелограмма, используя теорему Пифагора:

$AD^2 = AB^2 + BD^2$

Выразим $BD^2$:

$BD^2 = AD^2 - AB^2$

Подставим известные значения:

$BD^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$BD = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию ($S = a \cdot h_a$).

Если мы примем сторону $AB$ за основание параллелограмма, то диагональ $BD$ будет являться его высотой, так как она перпендикулярна основанию $AB$. Таким образом, основание $a = AB = 9$ см, а высота $h_a = BD = 12$ см.

Теперь вычислим площадь параллелограмма:

$S = AB \cdot BD = 9 \cdot 12 = 108$ см$^2$.

Ответ: $108$ см$^2$.

236. Стороны параллелограмма равны 9 см и 10 см, а его острый угол равен $60^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

236. Стороны параллелограмма равны 9 см и 10 см, а его острый угол равен $60^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле, использующей длины двух смежных сторон и синус угла между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.

В данном случае известны стороны $a = 9$ см и $b = 10$ см, а также острый угол между ними $\alpha = 60^{\circ}$. Значение синуса для этого угла составляет $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим все известные величины в формулу и произведем расчет:

$S = 9 \cdot 10 \cdot \sin(60^{\circ}) = 90 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 45\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $45\sqrt{3}$ см$^2$.