Страница 36 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Найдите площадь трапеции, основания которой равны $6 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$, а углы при большем основании — $30^\circ$ и $45^\circ$.

273. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 6 см и 8 см, а углы при большем основании — $30^\circ$ и $45^\circ$.

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. По условию, большее основание $AD = 8$ см, меньшее основание $BC = 6$ см. Углы при большем основании равны $\angle A = 30^\circ$ и $\angle D = 45^\circ$.

Для нахождения высоты $h$ проведем из вершин B и C перпендикуляры BE и CF к основанию AD. Таким образом, $BE = CF = h$. Фигура BCFE является прямоугольником, поэтому $EF = BC = 6$ см.

Основание AD состоит из трех отрезков: $AD = AE + EF + FD$. Подставив известные значения, получим:$8 = AE + 6 + FD$$AE + FD = 8 - 6 = 2$ см.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотами: $\triangle ABE$ и $\triangle CFD$.

1. В прямоугольном треугольнике ABE (с $\angle A = 30^\circ$):Отношение катетов связано через тангенс угла: $\tan(\angle A) = \frac{BE}{AE}$.$\tan(30^\circ) = \frac{h}{AE}$Отсюда выразим AE: $AE = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.

2. В прямоугольном треугольнике CFD (с $\angle D = 45^\circ$):Аналогично, $\tan(\angle D) = \frac{CF}{FD}$.$\tan(45^\circ) = \frac{h}{FD}$Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то $FD = h$.

Теперь подставим полученные выражения для AE и FD в уравнение $AE + FD = 2$:$h\sqrt{3} + h = 2$Вынесем $h$ за скобки:$h(\sqrt{3} + 1) = 2$Найдем высоту $h$:$h = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:$h = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$ см.

Зная высоту, можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8+6}{2} \cdot (\sqrt{3} - 1) = \frac{14}{2} \cdot (\sqrt{3} - 1) = 7(\sqrt{3} - 1)$ см².

Ответ: $7(\sqrt{3} - 1)$ см².

274. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

274. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим ее боковую сторону как $c$. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 12 см. Длина боковой стороны равна сумме длин этих отрезков:$c = 3 + 12 = 15$ см.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$, где $r$ – радиус окружности. Чтобы найти радиус, рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной $AB$ и отрезками $AO$ и $BO$, соединяющими центр вписанной окружности $O$ с вершинами $A$ и $B$. Так как $AO$ и $BO$ являются биссектрисами углов, прилежащих к боковой стороне, сумма которых $180^\circ$, треугольник $AOB$ является прямоугольным ($\angle AOB=90^\circ$). Радиус $OK$, проведенный в точку касания $K$, перпендикулярен стороне $AB$ и является высотой этого прямоугольного треугольника. Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.Следовательно:$r^2 = 3 \cdot 12 = 36$.$r = \sqrt{36} = 6$ см.Тогда высота трапеции равна:$h = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность, выполняется свойство: суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это означает:$a + b = c + c = 2c$.Найдем сумму оснований:$a + b = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.Подставим найденные значения суммы оснований и высоты:$S = \frac{30}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ см$^2$.

Ответ: $180$ см$^2$.

275. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 24 см. Точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как $4 : 9$. Найдите площадь трапеции.

275. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 24 см. Точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 4 : 9. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$. По условию, меньшая боковая сторона равна 24 см, следовательно, высота трапеции $h = AB = 24$ см.

Так как в трапецию вписана окружность, её диаметр $d$ равен высоте трапеции. Таким образом, $d = h = 24$ см, а радиус вписанной окружности $r = d/2 = 24/2 = 12$ см.

Пусть точка $K$ — точка касания вписанной окружности с большей боковой стороной $CD$. По условию, точка $K$ делит сторону $CD$ на отрезки, относящиеся как 4:9. Обозначим длины этих отрезков как $CK = 4x$ и $KD = 9x$. Тогда длина большей боковой стороны $CD = CK + KD = 4x + 9x = 13x$.

Воспользуемся свойством описанного четырехугольника: отрезки касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, равны. Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда:

• $CM = CK = 4x$
• $DN = DK = 9x$

Поскольку трапеция прямоугольная, а $AB$ — её высота, отрезки касательных из вершин $A$ и $B$ равны радиусу окружности:

• $BM = r = 12$ см
• $AN = r = 12$ см

Теперь мы можем выразить длины оснований трапеции:

• Меньшее основание: $BC = BM + MC = 12 + 4x$
• Большее основание: $AD = AN + ND = 12 + 9x$

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ к основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $CD = 13x$.
• Катет $CH$ равен высоте трапеции $AB$, то есть $CH = 24$ см.
• Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = (12 + 9x) - (12 + 4x) = 5x$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2$.

$(13x)^2 = 24^2 + (5x)^2$

$169x^2 = 576 + 25x^2$

$169x^2 - 25x^2 = 576$

$144x^2 = 576$

$x^2 = \frac{576}{144}$

$x^2 = 4$

$x = 2$ (так как длина отрезка не может быть отрицательной).

Теперь найдем длины оснований:

$BC = 12 + 4x = 12 + 4 \cdot 2 = 12 + 8 = 20$ см.

$AD = 12 + 9x = 12 + 9 \cdot 2 = 12 + 18 = 30$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

$S = \frac{30 + 20}{2} \cdot 24 = \frac{50}{2} \cdot 24 = 25 \cdot 24 = 600$ см$^2$.

Ответ: 600 см$^2$.

276. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а средняя линия равна 8 см.

276. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а средняя линия равна 8 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, $m$ — средняя линия, $h$ — высота, а $S$ — площадь.

1. Формула площади и средней линии трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$m = \frac{AD+BC}{2}$

Из этих двух формул следует, что площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту:

$S = m \cdot h$

По условию, средняя линия $m = 8$ см. Таким образом, для нахождения площади нам необходимо найти высоту трапеции $h$.

2. Свойства равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями.

Рассмотрим свойство высоты такой трапеции. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$. Полученный четырехугольник $BCED$ является параллелограммом, так как $BC \parallel DE$ (как части оснований трапеции) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, $DE = BC$ и $CE = BD$.

Рассмотрим треугольник $ACE$.

• Его основание $AE = AD + DE = AD + BC$.
• Так как трапеция равнобокая, ее диагонали равны: $AC = BD$. Из построения мы знаем, что $CE = BD$, следовательно, $AC = CE$. Это означает, что треугольник $ACE$ — равнобедренный.
• Угол между диагоналями трапеции $AC$ и $BD$ равен $90^\circ$ по условию. Угол $ACE$ равен углу между прямыми $AC$ и $CE$. Так как $CE \parallel BD$, то угол $ACE$ равен углу между диагоналями $AC$ и $BD$, то есть $\angle ACE = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $ACE$ является равнобедренным и прямоугольным.

3. Нахождение высоты.

Высота трапеции $h$ (проведенная из вершины $C$ к основанию $AD$) является также высотой треугольника $ACE$, проведенной из вершины $C$ к основанию $AE$.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, если этот треугольник равнобедренный. Высота $h$ является медианой и высотой в равнобедренном прямоугольном треугольнике $ACE$. Следовательно:

$h = \frac{AE}{2}$

Подставим значение $AE$:

$h = \frac{AD+BC}{2}$

Мы видим, что высота такой трапеции равна ее средней линии:

$h = m$

Поскольку по условию $m = 8$ см, то и высота $h = 8$ см.

4. Вычисление площади.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = m \cdot h = 8 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^2$

Ответ: $64 \text{ см}^2$.

277. Площадь равнобокой трапеции равна 126 см$^2$, а её диагонали перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.

277. Площадь равнобокой трапеции равна 126 $\text{см}^2$, а её диагонали перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция с основаниями $a$ и $b$, высотой $h$ и средней линией $m$. Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме ее оснований: $m = \frac{a+b}{2}$ Таким образом, формулу площади можно переписать в виде: $S = m \cdot h$

Рассмотрим свойство равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Они разбивают трапецию на два равнобедренных прямоугольных треугольника с основаниями $a$ и $b$ (гипотенузами) и два равных прямоугольных треугольника.

Высота трапеции $h$ равна сумме высот двух равнобедренных прямоугольных треугольников, проведенных из точки $O$ к основаниям трапеции. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Следовательно, высота одного треугольника равна $\frac{a}{2}$, а другого — $\frac{b}{2}$. Тогда высота всей трапеции: $h = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$

Сравнивая выражения для высоты и средней линии, получаем, что для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии: $h = m$

Теперь подставим это равенство в формулу площади: $S = m \cdot h = m \cdot m = m^2$

По условию задачи площадь трапеции равна $126 \text{ см}^2$. Значит: $m^2 = 126$ $m = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14} \text{ см}$

Ответ: $3\sqrt{14}$ см.