Номер 275, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

275. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 24 см. Точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как $4 : 9$. Найдите площадь трапеции.

275. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 24 см. Точка касания окружности, вписанной в трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 4 : 9. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$. По условию, меньшая боковая сторона равна 24 см, следовательно, высота трапеции $h = AB = 24$ см.

Так как в трапецию вписана окружность, её диаметр $d$ равен высоте трапеции. Таким образом, $d = h = 24$ см, а радиус вписанной окружности $r = d/2 = 24/2 = 12$ см.

Пусть точка $K$ — точка касания вписанной окружности с большей боковой стороной $CD$. По условию, точка $K$ делит сторону $CD$ на отрезки, относящиеся как 4:9. Обозначим длины этих отрезков как $CK = 4x$ и $KD = 9x$. Тогда длина большей боковой стороны $CD = CK + KD = 4x + 9x = 13x$.

Воспользуемся свойством описанного четырехугольника: отрезки касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, равны. Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда:

• $CM = CK = 4x$
• $DN = DK = 9x$

Поскольку трапеция прямоугольная, а $AB$ — её высота, отрезки касательных из вершин $A$ и $B$ равны радиусу окружности:

• $BM = r = 12$ см
• $AN = r = 12$ см

Теперь мы можем выразить длины оснований трапеции:

• Меньшее основание: $BC = BM + MC = 12 + 4x$
• Большее основание: $AD = AN + ND = 12 + 9x$

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ к основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $CD = 13x$.
• Катет $CH$ равен высоте трапеции $AB$, то есть $CH = 24$ см.
• Катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC = (12 + 9x) - (12 + 4x) = 5x$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2$.

$(13x)^2 = 24^2 + (5x)^2$

$169x^2 = 576 + 25x^2$

$169x^2 - 25x^2 = 576$

$144x^2 = 576$

$x^2 = \frac{576}{144}$

$x^2 = 4$

$x = 2$ (так как длина отрезка не может быть отрицательной).

Теперь найдем длины оснований:

$BC = 12 + 4x = 12 + 4 \cdot 2 = 12 + 8 = 20$ см.

$AD = 12 + 9x = 12 + 9 \cdot 2 = 12 + 18 = 30$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

$S = \frac{30 + 20}{2} \cdot 24 = \frac{50}{2} \cdot 24 = 25 \cdot 24 = 600$ см$^2$.

Ответ: 600 см$^2$.