Номер 277, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

277. Площадь равнобокой трапеции равна 126 см$^2$, а её диагонали перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.

277. Площадь равнобокой трапеции равна 126 $\text{см}^2$, а её диагонали перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция с основаниями $a$ и $b$, высотой $h$ и средней линией $m$. Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме ее оснований: $m = \frac{a+b}{2}$ Таким образом, формулу площади можно переписать в виде: $S = m \cdot h$

Рассмотрим свойство равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Они разбивают трапецию на два равнобедренных прямоугольных треугольника с основаниями $a$ и $b$ (гипотенузами) и два равных прямоугольных треугольника.

Высота трапеции $h$ равна сумме высот двух равнобедренных прямоугольных треугольников, проведенных из точки $O$ к основаниям трапеции. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Следовательно, высота одного треугольника равна $\frac{a}{2}$, а другого — $\frac{b}{2}$. Тогда высота всей трапеции: $h = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$

Сравнивая выражения для высоты и средней линии, получаем, что для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии: $h = m$

Теперь подставим это равенство в формулу площади: $S = m \cdot h = m \cdot m = m^2$

По условию задачи площадь трапеции равна $126 \text{ см}^2$. Значит: $m^2 = 126$ $m = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14} \text{ см}$

Ответ: $3\sqrt{14}$ см.