Номер 271, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

271. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 22 см и 50 см, а диагонали делят её тупые углы пополам.

271. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 22 см и 50 см, а диагонали делят её тупые углы пополам.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию задачи, большее основание $AD = 50$ см, а меньшее основание $BC = 22$ см.

Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны ($AB = CD$), а углы при основаниях также равны. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ при меньшем основании являются тупыми.

В условии сказано, что диагонали делят тупые углы пополам. Рассмотрим диагональ AC, которая является биссектрисой угла $\angle BCD$. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$.

Основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$). Прямая AC является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими, и они равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Сопоставив два полученных равенства ($\angle BCA = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle CAD$), получаем, что $\angle ACD = \angle CAD$.

Рассмотрим треугольник ACD. Так как в нём два угла равны ($\angle ACD = \angle CAD$), то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой. Напротив угла $\angle CAD$ лежит сторона CD, а напротив угла $\angle ACD$ лежит сторона AD. Следовательно, $CD = AD$.

Так как $AD = 50$ см, то боковая сторона $CD = 50$ см. Поскольку трапеция равнобокая, то и вторая боковая сторона $AB = 50$ см.

Для нахождения площади трапеции необходимо знать её высоту. Проведём высоту CH из вершины C на основание AD. В равнобокой трапеции отрезок HD, который высота отсекает от большего основания, можно найти по формуле: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{50 - 22}{2} = \frac{28}{2} = 14$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Мы знаем гипотенузу $CD = 50$ см и катет $HD = 14$ см. Найдём второй катет CH, который является высотой трапеции ($h$), по теореме Пифагора: $h^2 = CD^2 - HD^2$ $h^2 = 50^2 - 14^2 = 2500 - 196 = 2304$ $h = \sqrt{2304} = 48$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции по формуле: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$. Подставим известные значения: $S = \frac{50 + 22}{2} \cdot 48 = \frac{72}{2} \cdot 48 = 36 \cdot 48 = 1728$ $см^2$.

Ответ: 1728 $см^2$.