Номер 267, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

267. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ — 17 см. Найдите площадь трапеции.

267. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ – 17 см. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

По условию задачи, основания равнобокой трапеции равны $a = 18$ см и $b = 12$ см, а диагональ $d = 17$ см. Для вычисления площади необходимо найти высоту $h$.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями $AD = 18$ см и $BC = 12$ см, и диагональю $AC = 17$ см. Проведем из вершины C высоту CH на большее основание AD. Образуется прямоугольный треугольник AHC, в котором AC является гипотенузой, а AH и CH — катетами.

Найдем длину катета AH. В равнобокой трапеции, если провести две высоты из вершин меньшего основания (в нашем случае CH и BK), то они отсекут на большем основании равные отрезки (AK = HD). Длину этих отрезков можно найти как полуразность оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Длина отрезка AH складывается из длины отрезка, равного меньшему основанию (KH = BC = 12 см), и отрезка AK, который равен HD. Но проще найти AH как разность всего основания AD и отрезка HD:

$AH = AD - HD = 18 - 3 = 15$ см.

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AHC ($AC^2 = AH^2 + CH^2$), найдем высоту $h = CH$:

$h^2 = AC^2 - AH^2$

$h^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Зная высоту, вычисляем площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{18 + 12}{2} \cdot 8 = \frac{30}{2} \cdot 8 = 15 \cdot 8 = 120$ см².

Ответ: 120 см².