Номер 268, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Найдите площадь равнобокой трапеции, большее основание которой равно $9\sqrt{3}$ см, боковая сторона — 8 см, а угол при меньшем основании — $150^\circ$.

268. Найдите площадь равнобокой трапеции, большее основание которой равно $9\sqrt{3}$ см, боковая сторона — 8 см, а угол при меньшем основании — $150^\circ$.

Для нахождения площади равнобокой трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

По условию задачи дано:
- большее основание $a = 9\sqrt{3}$ см;
- боковая сторона $c = 8$ см;
- угол при меньшем основании равен $150^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Следовательно, угол при большем основании составляет:
$\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получится прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции ($c = 8$ см), а одним из острых углов — угол при большем основании ($\alpha = 30^\circ$). Высота трапеции $h$ будет катетом, противолежащим этому углу.
Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы, поэтому:
$h = c \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Теперь найдем меньшее основание $b$. Для этого сначала найдем длину отрезка $x$, который высота отсекает от большего основания. Этот отрезок является катетом в том же прямоугольном треугольнике:
$x = c \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
Так как трапеция равнобокая, с обеих сторон от меньшего основания до вершин большего основания находятся два таких одинаковых отрезка. Меньшее основание можно найти, вычтя длины этих двух отрезков из длины большего основания:
$b = a - 2x = 9\sqrt{3} - 2 \cdot 4\sqrt{3} = 9\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь, зная оба основания и высоту, можем вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{9\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} \cdot 4 = \frac{10\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 5\sqrt{3} \cdot 4 = 20\sqrt{3}$ см².

Ответ: $20\sqrt{3}$ см².