Номер 261, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

261. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$ см, $BC = 8$ см, отрезок $BK$ — биссектриса треугольника. Найдите отношение площадей треугольников $ABK$ и $CBK$.

261. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$ см, $BC = 8$ см, отрезок $BK$ — биссектриса треугольника. Найдите отношение площадей треугольников $ABK$ и $CBK$.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $CBK$. У этих треугольников есть общая вершина $B$, а их основания $AK$ и $KC$ лежат на одной прямой $AC$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$. Эта высота будет общей для обоих треугольников.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Площадь треугольника $ABK$ равна $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot BH$.

Площадь треугольника $CBK$ равна $S_{CBK} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot BH$.

Найдем отношение площадей этих треугольников:

$\frac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot KC \cdot BH} = \frac{AK}{KC}$

Таким образом, отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению их оснований.

Поскольку $BK$ является биссектрисой треугольника $ABC$, то по свойству биссектрисы она делит противолежащую сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}$

Из этого следует, что искомое отношение площадей равно отношению сторон $AB$ и $BC$:

$\frac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \frac{AB}{BC}$

Подставим известные значения: $AB = 12$ см, $BC = 8$ см.

$\frac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5.