Страница 34 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

254. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а разность диагоналей — 10 см.

254. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а разность диагоналей — 10 см.

Обозначим сторону ромба как $a$, а его диагонали как $d_1$ и $d_2$.

По условию задачи дано: сторона ромба $a = 25$ см и разность диагоналей $d_1 - d_2 = 10$ см (где $d_1$ — большая диагональ).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому сторона ромба ($a$) является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$).

По теореме Пифагора имеем:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известное значение стороны $a = 25$:

$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 25^2$

$d_1^2 + d_2^2 = 4 \cdot 625$

$d_1^2 + d_2^2 = 2500$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} d_1 - d_2 = 10 \\ d_1^2 + d_2^2 = 2500 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $d_1$ через $d_2$:

$d_1 = 10 + d_2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(10 + d_2)^2 + d_2^2 = 2500$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$100 + 20d_2 + d_2^2 + d_2^2 = 2500$

$2d_2^2 + 20d_2 + 100 - 2500 = 0$

$2d_2^2 + 20d_2 - 2400 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы его упростить:

$d_2^2 + 10d_2 - 1200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900 = 70^2$

Найдем корни уравнения:

$d_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 70}{2}$

Так как длина диагонали является положительной величиной, нас интересует только положительный корень:

$d_2 = \frac{-10 + 70}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Теперь найдем длину большей диагонали $d_1$:

$d_1 = 10 + d_2 = 10 + 30 = 40$ см.

Площадь ромба ($S$) равна половине произведения его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Подставим найденные значения $d_1$ и $d_2$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 20 \cdot 30 = 600$ см².

Ответ: 600 см².

255. Найдите площадь ромба, если его диагонали относятся как 3 : 4, а высота равна 12 см.

255. Найдите площадь ромба, если его диагонали относятся как $3 : 4$, а высота равна 12 см.

Обозначим диагонали ромба как $d_1$ и $d_2$, сторону как $a$, высоту как $h$ и площадь как $S$.

Площадь ромба можно найти двумя способами:
1. Через произведение стороны на высоту: $S = a \cdot h$.
2. Через половину произведения диагоналей: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.

Из условия задачи известно, что диагонали относятся как $3:4$, а высота $h = 12$ см. Пусть $d_1 = 3x$ и $d_2 = 4x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда площадь, выраженная через диагонали, равна: $S = \frac{1}{2}(3x)(4x) = \frac{12x^2}{2} = 6x^2$.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Сторона ромба $a$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$). По теореме Пифагора найдем сторону $a$: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = (\frac{3x}{2})^2 + (\frac{4x}{2})^2 = \frac{9x^2}{4} + \frac{16x^2}{4} = \frac{25x^2}{4}$ $a = \sqrt{\frac{25x^2}{4}} = \frac{5x}{2}$ (поскольку длина стороны должна быть положительной).

Теперь выразим площадь через сторону и высоту: $S = a \cdot h = \frac{5x}{2} \cdot 12 = 30x$.

Мы получили два разных выражения для одной и той же площади. Приравняем их, чтобы найти значение $x$: $6x^2 = 30x$ Поскольку $x$ не может быть равен нулю (иначе диагонали были бы нулевой длины), мы можем разделить обе части уравнения на $6x$: $x = \frac{30}{6}$ $x = 5$.

Теперь, зная $x$, мы можем вычислить площадь. Подставим значение $x=5$ в любое из выражений для площади, например, в $S = 30x$: $S = 30 \cdot 5 = 150$ см$^2$.

Ответ: 150 см$^2$.

256. Перпендикуляр, проведённый из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит её на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите площадь треугольника.

256. Перпендикуляр, проведённый из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит её на отрезки длиной 8 см и 18 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $M$ — середина основания $AC$. Из точки $M$ проведен перпендикуляр $MH$ к боковой стороне $BC$ (точка $H$ лежит на отрезке $BC$).

По условию, перпендикуляр $MH$ делит боковую сторону $BC$ на отрезки длиной 8 см и 18 см. Следовательно, длина боковой стороны $BC$ равна сумме длин этих отрезков:
$BC = 8 + 18 = 26$ см.

В равнобедренном треугольнике медиана $BM$, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $\triangle BMC$ является прямоугольным треугольником с прямым углом $\angle BMC = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle MHC$. По условию $MH \perp BC$, значит $\angle MHC = 90^\circ$. У этих двух треугольников есть общий острый угол $\angle C$. Следовательно, треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle MHC$ подобны по двум углам (признак подобия по острому углу для прямоугольных треугольников).

Из подобия треугольников следует соотношение их соответствующих сторон:
$\frac{BC}{MC} = \frac{MC}{HC}$

Из этой пропорции можно выразить $MC^2$:
$MC^2 = BC \cdot HC$

Существует два возможных случая, так как в условии не указано, какой из отрезков ($BH$ или $HC$) равен 8 см.

Случай 1: $HC = 8$ см (отрезок, прилегающий к основанию).
Подставим известные значения в выведенную формулу:
$MC^2 = 26 \cdot 8 = 208$.
Теперь найдем квадрат высоты $BM$ из прямоугольного треугольника $\triangle BMC$ по теореме Пифагора ($BC^2 = BM^2 + MC^2$):
$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 26^2 - 208 = 676 - 208 = 468$.

Случай 2: $HC = 18$ см.
Подставим известные значения:
$MC^2 = 26 \cdot 18 = 468$.
Найдем квадрат высоты $BM$:
$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 26^2 - 468 = 676 - 468 = 208$.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM$. Поскольку $M$ — середина $AC$, то $AC = 2 \cdot MC$. Формула для площади упрощается:
$S = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot MC) \cdot BM = MC \cdot BM = \sqrt{MC^2} \cdot \sqrt{BM^2}$.

В первом случае: $S = \sqrt{208} \cdot \sqrt{468} = \sqrt{16 \cdot 13} \cdot \sqrt{36 \cdot 13} = 4\sqrt{13} \cdot 6\sqrt{13} = 24 \cdot 13 = 312$ см$^2$.
Во втором случае: $S = \sqrt{468} \cdot \sqrt{208} = \sqrt{36 \cdot 13} \cdot \sqrt{16 \cdot 13} = 6\sqrt{13} \cdot 4\sqrt{13} = 24 \cdot 13 = 312$ см$^2$.

В обоих случаях результат для площади треугольника совпадает.

Ответ: 312 см$^2$.

257. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

257. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и вписанной в него окружности.

Пусть $a$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника, $c$ – его гипотенуза. По условию задачи даны гипотенуза $c = 26$ см и радиус вписанной окружности $r = 4$ см.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле: $r = \frac{a+b-c}{2}$

Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти сумму длин катетов ($a+b$). Подставим известные значения $r=4$ и $c=26$: $4 = \frac{a+b-26}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:
$8 = a+b-26$

Теперь выразим сумму катетов:
$a+b = 8 + 26 = 34$ см.

Площадь любого треугольника можно вычислить по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ – это полупериметр треугольника. Полупериметр вычисляется как сумма всех сторон, деленная на 2: $p = \frac{a+b+c}{2}$

Мы уже знаем сумму катетов $a+b = 34$ см и длину гипотенузы $c = 26$ см. Найдем полупериметр: $p = \frac{34+26}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Теперь, зная полупериметр ($p=30$ см) и радиус вписанной окружности ($r=4$ см), мы можем вычислить площадь треугольника: $S = p \cdot r = 30 \cdot 4 = 120$ см².

Ответ: 120 см².

258. В прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) вписана окружность с центром $O$ и радиусом $\sqrt{3}$ см (рис. 40).

Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\angle A = 30^\circ$.

Рис. 40

258. В прямоугольный треугольник $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ вписана окружность с центром $O$ и радиусом $\sqrt{3}$ см (рис. 40). Найдите площадь треугольника $ABC$, если $\angle A = 30^\circ$.

Рис. 40

Дано:
$\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник.
$\angle C = 90^\circ$.
$\angle A = 30^\circ$.
В $\triangle ABC$ вписана окружность с центром O и радиусом $r = \sqrt{3}$ см.

Найти:
Площадь $\triangle ABC$.

Решение:
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$, где $AC$ и $BC$ — катеты треугольника.

1. Пусть окружность касается сторон $AC$, $BC$ и $AB$ в точках K, M и N соответственно. Так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, то $OK \perp AC$ и $OM \perp BC$. Четырехугольник $OKCM$ является квадратом, так как все его углы прямые ($\angle C = 90^\circ$, $\angle OKC = 90^\circ$, $\angle OMC = 90^\circ$) и смежные стороны $OK$ и $OM$ равны радиусу $r$. Следовательно, $CK = CM = r = \sqrt{3}$ см.

2. Центр вписанной окружности O является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Значит, $AO$ — биссектриса угла $A$. Следовательно, $\angle CAO = \frac{\angle A}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AKO$ ($\angle AKO = 90^\circ$). Катет $OK$ равен радиусу вписанной окружности $r = \sqrt{3}$. Найдем катет $AK$ через тангенс угла $\angle KAO$: $\tan(\angle KAO) = \frac{OK}{AK} \Rightarrow AK = \frac{OK}{\tan(\angle KAO)} = \frac{r}{\tan(15^\circ)}$.

4. Вычислим значение $\tan(15^\circ)$, используя формулу тангенса половинного угла: $\tan(15^\circ) = \tan\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = \frac{1 - \cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 - \sqrt{3}$.

5. Теперь найдем длину отрезка $AK$: $AK = \frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = 3 + 2\sqrt{3}$ см.

6. Длина катета $AC$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $CK$: $AC = AK + CK = (3 + 2\sqrt{3}) + \sqrt{3} = 3 + 3\sqrt{3}$ см.

7. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ найдем катет $BC$ через тангенс угла $A$: $\tan(A) = \frac{BC}{AC} \Rightarrow BC = AC \cdot \tan(30^\circ)$. $BC = (3 + 3\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 3$ см.

8. Наконец, найдем площадь треугольника $ABC$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot (3 + 3\sqrt{3}) \cdot (3 + \sqrt{3})$. $S = \frac{1}{2} \cdot 3(1 + \sqrt{3}) \cdot (3 + \sqrt{3}) = \frac{3}{2} \cdot (1 \cdot 3 + 1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$. $S = \frac{3}{2} \cdot (3 + \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3) = \frac{3}{2} \cdot (6 + 4\sqrt{3}) = 3 \cdot (3 + 2\sqrt{3}) = 9 + 6\sqrt{3}$ см².

Ответ: $9 + 6\sqrt{3}$ см².

259. Площадь треугольника $ABC$ равна $28 \text{ см}^2$. Точка $D$ делит сторону $BC$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $B$. Найдите площади треугольников $ABD$ и $ACD$.

259. Площадь треугольника $ABC$ равна $28 \, \text{см}^2$. Точка $D$ делит сторону $BC$ в отношении $3:1$, считая от точки $B$. Найдите площади треугольников $ABD$ и $ACD$.

Пусть $S_{ABC}$, $S_{ABD}$ и $S_{ACD}$ — площади треугольников $ABC$, $ABD$ и $ACD$ соответственно. По условию, площадь треугольника $ABC$ равна 28 см², то есть $S_{ABC} = 28$ см².

Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общую вершину $A$, а их основания $BD$ и $DC$ лежат на одной прямой $BC$. Следовательно, высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, является общей для обоих треугольников. Обозначим эту высоту как $h$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. Таким образом, площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны: $$ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h $$ $$ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h $$

Так как высота $h$ у треугольников общая, отношение их площадей равно отношению длин их оснований: $$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot DC \cdot h} = \frac{BD}{DC} $$

По условию задачи точка $D$ делит сторону $BC$ в отношении $3:1$, считая от точки $B$. Это означает, что $BD:DC = 3:1$, или $\frac{BD}{DC} = 3$. Следовательно, отношение площадей также равно 3: $$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = 3 \implies S_{ABD} = 3 \cdot S_{ACD} $$

Площадь всего треугольника $ABC$ является суммой площадей треугольников $ABD$ и $ACD$: $$ S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD} $$

Подставим известные соотношения и значения в эту формулу: $$ 28 = 3 \cdot S_{ACD} + S_{ACD} $$ $$ 28 = 4 \cdot S_{ACD} $$ $$ S_{ACD} = \frac{28}{4} = 7 \text{ см}^2 $$

Теперь, зная площадь $S_{ACD}$, мы можем найти площадь $S_{ABD}$: $$ S_{ABD} = 3 \cdot S_{ACD} = 3 \cdot 7 = 21 \text{ см}^2 $$

Площадь треугольника ABD
Площадь треугольника $ABD$ равна 21 см².
Ответ: 21 см².

Площадь треугольника ACD
Площадь треугольника $ACD$ равна 7 см².
Ответ: 7 см².

260. Точка $D$ делит медиану $AM$ треугольника $ABC$ в отношении 3 : 4, считая от точки $A$. Найдите отношение площадей треугольников:

1) $CDM$ и $ABM$;

2) $ACD$ и $ABC$.

260. Точка $D$ делит медиану $AM$ треугольника $ABC$ в отношении $3:4$, считая от точки $A$. Найдите отношение площадей треугольников:

1) $CDM$ и $ABM$;

2) $ACD$ и $ABC$.

Пусть $S$ - площадь треугольника $ABC$. Поскольку $AM$ — медиана треугольника $ABC$, она делит его на два треугольника равной площади (равновеликих), так как у них общее основание $AM$ и равные высоты из вершин $B$ и $C$. Таким образом: $S_{ABM} = S_{AMC} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.

По условию, точка $D$ делит медиану $AM$ в отношении $AD : DM = 3 : 4$. Пусть $AD = 3x$, тогда $DM = 4x$. Вся медиана $AM = AD + DM = 3x + 4x = 7x$. Отсюда получаем отношения отрезков к целой медиане: $\frac{AD}{AM} = \frac{3x}{7x} = \frac{3}{7}$ $\frac{DM}{AM} = \frac{4x}{7x} = \frac{4}{7}$

Рассмотрим треугольники $CDM$ и $AMC$. У них общая вершина $C$, а их основания $DM$ и $AM$ лежат на одной прямой. Следовательно, они имеют общую высоту, проведенную из вершины $C$ к прямой $AM$. Отношение площадей таких треугольников равно отношению их оснований: $\frac{S_{CDM}}{S_{AMC}} = \frac{DM}{AM} = \frac{4}{7}$.

Из этого следует, что $S_{CDM} = \frac{4}{7} S_{AMC}$. Мы знаем, что $S_{AMC} = S_{ABM}$. Подставим это в предыдущее равенство: $S_{CDM} = \frac{4}{7} S_{ABM}$. Тогда искомое отношение площадей: $\frac{S_{CDM}}{S_{ABM}} = \frac{4}{7}$.
Ответ: 4 : 7

Рассмотрим треугольники $ACD$ и $AMC$. Аналогично предыдущему пункту, у них общая высота из вершины $C$ к прямой $AM$. Отношение их площадей равно отношению оснований: $\frac{S_{ACD}}{S_{AMC}} = \frac{AD}{AM} = \frac{3}{7}$.

Отсюда $S_{ACD} = \frac{3}{7} S_{AMC}$. Так как $AM$ — медиана, то $S_{AMC} = \frac{1}{2} S_{ABC}$. Подставим это выражение в формулу для $S_{ACD}$: $S_{ACD} = \frac{3}{7} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABC}) = \frac{3}{14} S_{ABC}$. Следовательно, искомое отношение площадей: $\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}} = \frac{3}{14}$.
Ответ: 3 : 14

261. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$ см, $BC = 8$ см, отрезок $BK$ — биссектриса треугольника. Найдите отношение площадей треугольников $ABK$ и $CBK$.

261. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$ см, $BC = 8$ см, отрезок $BK$ — биссектриса треугольника. Найдите отношение площадей треугольников $ABK$ и $CBK$.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $CBK$. У этих треугольников есть общая вершина $B$, а их основания $AK$ и $KC$ лежат на одной прямой $AC$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$. Эта высота будет общей для обоих треугольников.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Площадь треугольника $ABK$ равна $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot BH$.

Площадь треугольника $CBK$ равна $S_{CBK} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot BH$.

Найдем отношение площадей этих треугольников:

$\frac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot KC \cdot BH} = \frac{AK}{KC}$

Таким образом, отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению их оснований.

Поскольку $BK$ является биссектрисой треугольника $ABC$, то по свойству биссектрисы она делит противолежащую сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}$

Из этого следует, что искомое отношение площадей равно отношению сторон $AB$ и $BC$:

$\frac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \frac{AB}{BC}$

Подставим известные значения: $AB = 12$ см, $BC = 8$ см.

$\frac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5.

262. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы она разбила его на два треугольника, площади которых относятся как $2 : 1$.

262. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы она разбила его на два треугольника, площади которых относятся как $2 : 1$.

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется провести прямую через одну из его вершин, например, вершину $B$, так, чтобы она разделила треугольник на два других треугольника, площади которых относятся как 2:1.

Искомая прямая, проходящая через вершину $B$, пересечет противоположную сторону $AC$ в некоторой точке $D$. Эта прямая разделит треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к стороне $AC$. Эта высота будет общей для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle BDC$.

Площадь $\triangle ABD$ равна $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH$.
Площадь $\triangle BDC$ равна $S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot BH$.

Найдем отношение площадей этих треугольников: $$ \frac{S_{ABD}}{S_{BDC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot DC \cdot BH} = \frac{AD}{DC} $$ Как видно из формулы, отношение площадей двух треугольников с общей высотой равно отношению длин их оснований.

По условию задачи, отношение площадей должно быть равно 2:1. Следовательно, отношение оснований также должно быть 2:1: $$ \frac{AD}{DC} = \frac{2}{1} $$

Это означает, что точка $D$ должна делить сторону $AC$ в отношении 2:1. Чтобы найти такую точку, нужно разделить отрезок $AC$ на $2+1=3$ равные части. Точка $D$ будет расположена так, что один из отрезков ($AD$ или $DC$) будет состоять из двух таких частей, а другой — из одной.

Таким образом, для решения задачи необходимо выбрать любую вершину треугольника, а противолежащую ей сторону разделить на три равные части. Прямая, проведенная из выбранной вершины к одной из точек деления (которая не является вершиной треугольника), и будет искомой.

Ответ: Чтобы разделить треугольник на два треугольника, площади которых относятся как 2:1, необходимо провести прямую из любой вершины треугольника к точке на противоположной стороне, которая делит эту сторону в отношении 2:1. Для этого следует разделить противоположную сторону на три равные части и соединить вершину с одной из двух точек деления. В зависимости от выбора точки, отношение площадей полученных треугольников будет 2:1 или 1:2.

263. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 8 см и 11 см, а высота — 4 см.

263. Найдите площадь трапеции, основания которой равны $8 \text{ см}$ и $11 \text{ см}$, а высота — $4 \text{ см}$.

Для нахождения площади трапеции используется формула, в которой площадь равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Формула площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — это длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• длина первого основания $a = 8$ см;
• длина второго основания $b = 11$ см;
• высота $h = 4$ см.

Подставим эти значения в формулу и выполним расчет:

$S = \frac{8 + 11}{2} \cdot 4$

$S = \frac{19}{2} \cdot 4$

$S = 9.5 \cdot 4$

$S = 38$ см²

Ответ: 38 см².