Страница 38 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. В четырёхугольнике ABCD (рис. 42) $ \angle 1 = \angle 2 = \angle 3 $. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

11. В четырёхугольнике ABCD (рис. 42) $\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рис. 42

Для доказательства того, что четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, необходимо доказать, что его противоположные стороны попарно параллельны, то есть $AD \| BC$ и $AB \| DC$.

1. Рассмотрим параллельность сторон $AD$ и $BC$.

Углы $\angle 2$ и $\angle ABC$ являются смежными, так как они лежат на одной прямой и имеют общую сторону. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:
$\angle ABC + \angle 2 = 180^\circ$

По условию задачи дано, что $\angle 1 = \angle 2$. Заменим в равенстве $\angle 2$ на равный ему $\angle 1$:
$\angle ABC + \angle 1 = 180^\circ$

Углы $\angle 1$ (он же $\angle DAB$) и $\angle ABC$ являются внутренними односторонними углами при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Так как их сумма равна $180^\circ$, то по признаку параллельности двух прямых, прямые $AD$ и $BC$ параллельны: $AD \| BC$.

2. Рассмотрим параллельность сторон $AB$ и $DC$.

По условию задачи $\angle 1 = \angle 3$.

Угол $\angle 1$ (он же $\angle DAB$) и угол $\angle 3$ являются соответственными углами при прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AD$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности двух прямых, прямые $AB$ и $DC$ параллельны: $AB \| DC$.

3. Заключение.

Мы доказали, что в четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны ($AD \| BC$ и $AB \| DC$). Согласно определению, четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

12. Периметр параллелограмма равен 84 см. Найдите стороны параллелограмма, если одна из них на 12 см меньше другой.

12. Периметр параллелограмма равен 84 см. Найдите стороны параллелограмма, если одна из них на 12 см меньше другой.

Пусть одна сторона параллелограмма равна $x$ см. По условию, другая сторона на 12 см больше (или меньше, результат будет тот же), значит, она равна $(x + 12)$ см.

Периметр параллелограмма ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, формула периметра имеет вид:

$P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны.

Подставим в формулу известные нам данные. По условию $P = 84$ см. Получаем уравнение:

$2 \cdot (x + (x + 12)) = 84$

Упростим выражение в скобках:

$2 \cdot (2x + 12) = 84$

Разделим обе части уравнения на 2:

$2x + 12 = 42$

Теперь вычтем 12 из обеих частей:

$2x = 42 - 12$

$2x = 30$

Найдем $x$:

$x = 30 / 2$

$x = 15$

Итак, одна сторона параллелограмма равна 15 см.

Теперь найдем вторую сторону:

$x + 12 = 15 + 12 = 27$ см.

Таким образом, две стороны параллелограмма равны 15 см, а две другие — 27 см.

Ответ: 15 см, 27 см, 15 см, 27 см.

13. Периметр параллелограмма равен 90 см. Найдите его стороны, если две из них относятся как $2 : 3$.

13. Периметр параллелограмма равен 90 см. Найдите его стороны, если две из них относятся как $2:3$.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, то две стороны, которые относятся как 2 : 3, являются смежными (соседними), так как отношение противоположных сторон всегда равно 1 : 1.

Обозначим одну сторону как $a = 2x$, а смежную с ней сторону как $b = 3x$, где $x$ – некоторый коэффициент пропорциональности.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле, как удвоенная сумма длин двух смежных сторон:

$P = 2(a + b)$

По условию задачи, периметр равен 90 см. Подставим известные значения и выражения для сторон в формулу и составим уравнение:

$90 = 2(2x + 3x)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

$90 = 2(5x)$
$90 = 10x$
$x = \frac{90}{10}$
$x = 9$

Зная коэффициент пропорциональности, мы можем найти длины сторон параллелограмма:

$a = 2x = 2 \cdot 9 = 18$ см.
$b = 3x = 3 \cdot 9 = 27$ см.

Таким образом, параллелограмм имеет две стороны длиной 18 см и две стороны длиной 27 см.

Ответ: 18 см, 27 см, 18 см, 27 см.

14. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из его углов равен $52^\circ$;

2) сумма двух его углов равна $174^\circ$;

3) один из его углов на $28^\circ$ больше другого;

4) один из его углов в 4 раза меньше другого;

5) два его угла относятся как $4:5$.

14. Найдите углы параллелограмма, если:

1) один из его углов равен $52^\circ$;

2) сумма двух его углов равна $174^\circ$;

3) один из его углов на $28^\circ$ больше другого;

4) один из его углов в 4 раза меньше другого;

5) два его угла относятся как $4:5$.

Для решения этой задачи воспользуемся основными свойствами углов параллелограмма:

• Противолежащие углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
• Сумма всех углов равна $360^\circ$.

1) один из его углов равен 52°

Пусть один из углов параллелограмма равен $52^\circ$. Противолежащий ему угол также равен $52^\circ$. Углы, прилежащие к той же стороне, что и данный угол, являются смежными и в сумме дают $180^\circ$. Найдем величину двух других углов:

$180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$

Таким образом, у параллелограмма два угла по $52^\circ$ и два угла по $128^\circ$.

Ответ: $52^\circ, 128^\circ, 52^\circ, 128^\circ$.

2) сумма двух его углов равна 174°

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Так как данная в условии сумма $174^\circ \neq 180^\circ$, то речь идет о противолежащих углах. Противолежащие углы в параллелограмме равны, поэтому каждый из этих углов равен:

$174^\circ \div 2 = 87^\circ$

Это два острых угла параллелограмма. Два других угла (тупые) найдем, вычитая полученный угол из $180^\circ$:

$180^\circ - 87^\circ = 93^\circ$

Ответ: $87^\circ, 93^\circ, 87^\circ, 93^\circ$.

3) один из его углов на 28° больше другого

Так как противолежащие углы равны, то эта разница может быть только между углами, прилежащими к одной стороне. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший угол равен $x + 28^\circ$. Их сумма составляет $180^\circ$. Составим уравнение:

$x + (x + 28^\circ) = 180^\circ$

$2x + 28^\circ = 180^\circ$

$2x = 180^\circ - 28^\circ$

$2x = 152^\circ$

$x = 76^\circ$

Меньший угол равен $76^\circ$. Тогда больший угол равен $76^\circ + 28^\circ = 104^\circ$.

Ответ: $76^\circ, 104^\circ, 76^\circ, 104^\circ$.

4) один из его углов в 4 раза меньше другого

Это условие также может относиться только к углам, прилежащим к одной стороне. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший угол равен $4x$. Их сумма равна $180^\circ$. Составим уравнение:

$x + 4x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = 180^\circ \div 5$

$x = 36^\circ$

Меньший угол равен $36^\circ$. Тогда больший угол равен $4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$.

Ответ: $36^\circ, 144^\circ, 36^\circ, 144^\circ$.

5) два его угла относятся как 4 : 5

Отношение не может быть между противолежащими углами (их отношение 1:1), значит, это углы, прилежащие к одной стороне. Пусть один угол равен $4x$, а другой — $5x$. Их сумма равна $180^\circ$. Составим уравнение:

$4x + 5x = 180^\circ$

$9x = 180^\circ$

$x = 180^\circ \div 9$

$x = 20^\circ$

Теперь найдем углы:
Первый угол: $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$
Второй угол: $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$

Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.

15. Даны два параллелограмма $ABCD$ и $EFGH$. Могут ли одновременно выполняться неравенства: $\angle B < \angle F$ и $\angle C < \angle G$?

15. Даны два параллелограмма $ABCD$ и $EFGH$. Могут ли одновременно выполняться неравенства: $\angle B < \angle F$ и $\angle C < \angle G$?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством углов параллелограмма: сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ углы $\angle B$ и $\angle C$ являются соседними, следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle B + \angle C = 180^\circ$, откуда можно выразить $\angle C = 180^\circ - \angle B$.

Аналогично, в параллелограмме $EFGH$ углы $\angle F$ и $\angle G$ являются соседними, поэтому:

$\angle F + \angle G = 180^\circ$, откуда можно выразить $\angle G = 180^\circ - \angle F$.

Теперь предположим, что оба неравенства из условия задачи выполняются одновременно:

1) $\angle B < \angle F$

2) $\angle C < \angle G$

Подставим выражения для $\angle C$ и $\angle G$ во второе неравенство:

$180^\circ - \angle B < 180^\circ - \angle F$

Вычтем $180^\circ$ из обеих частей неравенства:

$-\angle B < -\angle F$

Теперь умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$\angle B > \angle F$

Полученное неравенство $\angle B > \angle F$ противоречит первому неравенству из нашего предположения ($\angle B < \angle F$). Так как мы пришли к противоречию, наше исходное предположение о том, что оба неравенства могут выполняться одновременно, является неверным.

Ответ: Нет, не могут.

16. На рисунке 43 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 43

a

Углы: $\angle CBD = 40^\circ$, $\angle ADB = 45^\circ$.

б

Длины отрезков диагоналей: $8, 7, 6, 7$.

в

Углы: $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 130^\circ$.

16. На рисунке 43 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 43

а
На рисунке а) изображен параллелограмм ABCD с углами: $\angle CBD = 40^\circ$, $\angle BDA = 45^\circ$.

б
На рисунке б) изображен параллелограмм ABCD с диагоналями, разделенными на отрезки: 7, 6, 8, 7.

в
На рисунке в) изображен параллелограмм ABCD с углами: $\angle DAB = 40^\circ$, $\angle CBA = 130^\circ$.

а) В любом параллелограмме противоположные стороны параллельны. В данном случае сторона $BC$ параллельна стороне $AD$. Диагональ $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы при секущей должны быть равны. Это углы $\angle CBD$ и $\angle BDA$. На рисунке их величины равны $40^\circ$ и $45^\circ$. Поскольку $40^\circ \neq 45^\circ$, эти углы не равны, что противоречит свойствам параллелограмма.
Ответ: величины углов обозначены неверно.

б) По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. На рисунке изображены диагонали $AC$ и $BD$. Диагональ $AC$ разделена на отрезки длиной 8 см и 6 см. Так как $8 \neq 6$, эта диагональ не делится точкой пересечения пополам. Это противоречит свойству диагоналей параллелограмма. (Заметим, что для диагонали $BD$ свойство выполняется, так как $7 = 7$, но для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, свойство должно выполняться для обеих диагоналей).
Ответ: длины отрезков обозначены неверно.

в) В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются соседними, так как прилежат к стороне $AB$. Найдем их сумму согласно данным на рисунке: $40^\circ + 130^\circ = 170^\circ$. Полученная сумма не равна $180^\circ$ ($170^\circ \neq 180^\circ$), что противоречит свойствам параллелограмма.
Ответ: величины углов обозначены неверно.

17. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите разность периметров треугольников $BOC$ и $COD$, если $AB = 9$ см, $AD = 14$ см.

17. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите разность периметров треугольников $BOC$ и $COD$, если $AB = 9$ см, $AD = 14$ см.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Необходимо найти разность периметров треугольников $BOC$ и $COD$.

Периметр треугольника $BOC$ ($P_{\triangle BOC}$) вычисляется по формуле:

$P_{\triangle BOC} = BO + OC + BC$

Периметр треугольника $COD$ ($P_{\triangle COD}$) вычисляется по формуле:

$P_{\triangle COD} = CO + OD + CD$

Найдем разность периметров этих двух треугольников:

$P_{\triangle BOC} - P_{\triangle COD} = (BO + OC + BC) - (CO + OD + CD)$

Упростим полученное выражение:

$P_{\triangle BOC} - P_{\triangle COD} = BO + OC + BC - CO - OD - CD = (BO - OD) + (OC - CO) + (BC - CD)$

$P_{\triangle BOC} - P_{\triangle COD} = BO - OD + BC - CD$

По свойствам параллелограмма мы знаем, что:

1. Противоположные стороны равны: $BC = AD$ и $CD = AB$.
2. Диагонали в точке пересечения делятся пополам: $BO = OD$.

Подставим эти свойства в наше выражение для разности периметров:

$P_{\triangle BOC} - P_{\triangle COD} = OD - OD + AD - AB = AD - AB$

По условию задачи даны длины сторон: $AB = 9$ см, $AD = 14$ см.

Вычислим разность:

$P_{\triangle BOC} - P_{\triangle COD} = 14 \text{ см} - 9 \text{ см} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.